基本介紹
- 中文名：格序單群
- 外文名：lattice-ordered simple group
- 領域：代數
- 別名：L單群
- 意義：單群在格序群範疇中的推廣
- 定義：沒有真L理想的格序群
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概念介紹
格序單群(lattice-ordered simple group)亦稱L單群。是單群在格序群範疇中的推廣。沒有真L理想的格序群稱為格序單群或L單群。若全序集T是2齊次的，則A(T)的換位子群B(T)是l單的。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
單群
單群是一類重要的群。即不含非平凡正規子群的群。若群G≠{e}，且除{e}及G本身外不再含其他的正規子群，則稱G為單群。若此時G還是有限群，則稱G為有限單群。有限單群的例子有：素數階群，交錯群An，n≥5。有限單群的研究是有限群論中一個十分活躍的領域。
格序群
a+(x∨y)+b=(a+x+b)∨(a+y+b)，
a+(x∧y)+b=(a+x+b)∧(a+y+b)。
除去平凡的格群外 ，沒有有限格群。
理想
集合論中的基本概念之一。設S為任意集合，若I⊆P(S)且滿足：
1.∅∈I;
2.若X，Y∈I，則X∪Y∈I;
3.若X，Y⊆S，X∈I，Y⊆X，則Y∈I;
則稱I為集合S上的理想。理想的概念在現代數學的幾乎每個分支中均有套用，且有許多變體或引申。例如，布爾代數上的理想即為集合上的理想的一種變體。設B為任意布爾代數，若B的一個子集L滿足：
1.0∈I，1∉I(其中0，1分別為布爾代數B中的零元與么元);
2.對任何u∈I，v∈I，有u+v∈I;
3.對任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I;
則稱L為B上的理想.
L理想
亦稱L幻。是一類重要的凸L子群。格群G的正規凸l子群，稱為G的L理想。{0}及G本身是G的L理想，稱為G的平凡l理想。若φ是格群G到格群H的滿L同態，則：
1.φ的核ker(φ)是G的L理想。
2.若N是G的l理想，在商群G/N中，定義N+a≥N+b，若且唯若存在k∈N使k+a≥b，則
3.G/ker(φ)與H是L同構。
全序集
全序集亦稱線性序集。又稱鏈。一類重要的偏序集。若偏序集P適合公理P4：若對任意x，y∈P，x<y，y<x，x=y三式中有且僅有一式成立，則稱P為全序集。全序集中的關係≤稱為全序或線性序。若偏序集P的子集C作為子偏序集是全序集，則稱C是P中的鏈；若C是非序的，則稱C為P的反鏈。實數集及其任何子集在通常的≤關係下是全序集。
設(A，≤)是偏序集，如果(A，≤)中的關係≤滿足條件：對於任意的a，b∈A，a≤b或b≤a至少有一個成立，那么就稱關係≤為序關係，稱A為在這個關係下的全序集(也稱有序集)。
若兩個全序集的元素相同，並且序關係也相同，則稱這兩個全序集是相同的。即
(A1，≤1)=(A2，≤2)⇔A1=A2且≤1=≤2
當用列舉法表示全序集時，通常規定從左到右表示元素的順序。例如，設N為自然數集，關係≤為平常的數的小於或等於關係，則全序集(N1，≤)表示為{1，2，3，…}；若序關係≤*定義為：
