基本介紹
介紹,歷史,定義,性質,對稱雙線性,實二次形式,
介紹
二次型是n個變數上的二次齊次多項式。下面給出一個、兩個、和三個變數的二次形式：
任何非零的n維二次形式定義在投影空間中一個 (n-2)維的投影空間。在這種方式下可把3維二次形式可視化為圓錐曲線。
術語二次型也經常用來提及二次空間，它是有序對（V,q），這裡的V是在域k上的向量空間，而q:V→k是在V上的二次形式。例如，在三維歐幾里得空間中兩個點之間的距離可以採用涉及六個變數的二次形式的平方根來找到，它們是這兩個點的各自的三個坐標。
歷史
二次型的系統研究是從18世紀開始的，它起源於對二次曲線和二次曲面的分類問題的討論，將二次曲線和二次曲面的方程變形，選有主軸方向的軸作為坐標軸以簡化方程的形狀，這個問題是在18世紀引進的。柯西在其著作中給出結論：當方程是標準型時，二次曲面用二次型的符號來進行分類。然而，那時並不太清楚，在化簡成標準型時，為何總是得到同樣數目的正項和負項。西爾維斯特回答了這個問題，他給出了n個變數的二次型的慣性定律，但沒有證明。這個定律後被雅克比重新發現和證明。1801年，高斯在《算術研究》中引進了二次型的正定、負定、半正定和半負定等術語。
二次型化簡的進一步研究涉及二次型或行列式的特徵方程的概念。特徵方程的概念隱含地出現在歐拉的著作中，拉格朗日在其關於線性微分方程組的著作中首先明確地給出了這個概念。而三個變數的二次型的特徵值的實性則是由阿歇特（j-r.p.hachette）、蒙日和泊松（s.d.poisson,1781~1840）建立的。
1851，西爾維斯特在研究二次曲線和二次曲面的切觸和相交時需要考慮這種二次曲線和二次曲面束的分類。在他的分類方法中他引進了初等因子和不變因子的概念，但他沒有證明“不變因子組成兩個二次型的不變數的完全集”這一結論。
1858年，維爾斯特拉斯對同時化兩個二次型成平方和給出了一個一般的方法，並證明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特徵根相等，這個化簡也是可能的。維爾斯特拉斯比較系統的完成了二次型的理論並將其推廣到雙線性型。
定義
設V是在交換環R上的模；R經常是域比如實數，在這種情況下V是向量空間。
映射Q:V→R被稱為在V上的二次形式，如果
Q(av) =aQ(v)對於所有
和
，並且
2B(u,v) =Q(u+v) −Q(u) −Q(v)是在V上的雙線性形式。
這裡的B被稱為相伴雙線性形式；它是對稱雙線性形式。儘管這是非常一般性的定義，經常假定這個環R是一個域，它的特徵不是2。
V的兩個元素u和v被稱為正交的，如果B(u,v)=0。
雙線性形式B的核由正交於V的所有元素組成，而二次形式Q的核由B的核中的有Q(u)=0的所有元素u組成。 如果2是可逆的，則Q和它的相伴雙線性形式B有同樣的核。
雙線性形式B被稱為非奇異的，如果它的核是0；二次形式Q被稱為非奇異的，如果它的核是0。
非奇異二次形式Q的正交群是保持二次形式Q的V的自同構的群。
二次形式Q被稱為迷向的，如果有V中的非零的v使得Q(v)=0。否則它稱為非迷向的。二次空間的一個向量或子空間也可以被稱為迷向的。如果Q(V)=0則Q被稱為完全奇異的。
性質
二次形式的一些其他性質：
Q服從平行四邊形定律：
向量u和v是關於B正交的，若且唯若
對稱雙線性
二次形式總是生成對稱雙線性形式（通過極化恆等式），而反過來要求除以2。
注意對於任何向量u∈V
2Q(u) =B(u,u)
所以如果2在R中是可逆的（在R是一個域的時候這同於有不是2的特徵），則我們可以從對稱雙線性形式B恢復二次形式，通過
Q(u) =B(u,u)/2.
當2是可逆的時候，這給出在V上的二次形式和V上的雙線性形式之間的一一映射。如果B是任何對稱雙線性形式，則B(u,u)總是二次形式。所以在2是可逆的時候，這可以用作二次形式的定義。但是如果2不是可逆的，對稱雙線性形式和二次形式是不同的：某些二次形式不能寫為形式B（u,u）。
我們在二維情況下描述這種等價。任何2維二次形式可以被寫為
我們對在這個向量空間的任何向量寫x=（x,y）。二次形式F可以表達為矩陣，如果我們設M是2×2矩陣：
接著矩陣乘法給我們下列等式：
F(x)=x·M·x
如果V是n維的，我們寫雙線性形式B為相對於V的某個基{ei}的對稱矩陣B。B的分量給出自
。如果2是可逆的，二次形式Q給出自
實二次形式
假定Q是定義在實數向量空間上的二次形式。
它被稱為是正定的（或者負定的），如果Q(v)>0 (或者Q(v)<0)對於所有向量
。
如果我們放鬆嚴格不等於為≥或≤，則形式Q被稱為半定的。
如果Q(v)<0對於某個v而且Q(v)>0對於另一個v，則Q被稱為不定的。
設A是如上那樣關聯於Q的實數對稱矩陣，所以對於任何列向量v，
