對稱雙線性形式

設σ是向量空間V上的兩線性形式，如果σ(x，y)=σ(y，x)，x，y∈V，則稱σ為對稱雙線性形式。

基本介紹

• 中文名：對稱雙線性形式
• 外文名：the symmetric bilinear form
• 所屬學科 ：數學（高等幾何）
• 相關概念：內積空間、雙線性形式等

定義

給出向量空間V上的兩線性形式 如果

則 稱為對稱雙線性形式。

定義了對稱雙線性形式的向量空間 稱為內積空間。 稱為 中向量 和 的內積。

設 是內積空間 如果 則我們稱：向量 和 是正交的，記成 設 是 的一個子空間，

稱為M在V 中的正交補。

給出V的一組基 雙線性形式 的矩陣表示是 如果 是對稱的，則 是對稱矩陣，即 。

設

所以

主要性質

命題1 。

命題2 是內積空間， 的秩 。

命題3 是非退化的，若且唯若 。

命題4 。

引理5 。

定理6 。

定理7 是內積空間， 是非退化的，V中的映射 誘導一一映射： 它具有以下性質:

(1) ；

(2)

(3)

(4)

(5) 。

如果M是內積空間 的子空間， 是 在M上的限制： 當 如果 的秩 則M稱為退化子空間。

引理8M是非退化子空間的充要條件是： 。

推論設 是非退化雙線性形式，則： 是非退化子空間 也是非退化子空間。

定理9 是內積空間， 是非退化子空間，則 。