不定矩陣

不定矩陣是一個數學術語，指的是如果一個埃爾米特矩陣既不是半正定也不是半負定的，那么稱其為不定矩陣。

基本介紹

• 中文名：不定矩陣
• 外文名：indefinite matrices
• 領域：數學

正定矩陣的定義

在線性代數里，正定矩陣是埃爾米特矩陣的一種，有時會簡稱為正定陣。在雙線性代數中，正定矩陣的性質類似複數中的正實數。與正定矩陣相對應的線性運算元是對稱正定雙線性形式（復域中則對應埃爾米特正定雙線性形式）。

一個n×n的實對稱矩陣是正定的，若且唯若對於所有的非零實係數向量z，都有z^Tz>0。其中z^T表示z的轉置。

對於複數的情況，定義則為：一個n×n的埃爾米特矩陣(或厄米矩陣)是正定的若且唯若對於每個非零的復向量z，都有z^*z>0。其中z^*表示z的共軛轉置。由於是埃爾米特矩陣，經計算可知，對於任意的復向量z，z^*z必然是實數，從而可以與0比較大小。

負定、半定及不定矩陣

與正定矩陣相對應的，一個n×n的埃爾米特矩陣是負定矩陣若且唯若對所有不為零的（或），都有：

是半正定矩陣若且唯若對所有不為零的（或），都有：

是半負定矩陣若且唯若對所有不為零的（或），都有：

可以看出，上一節中正定陣的等價性質1隻需略作相應改動，就可以變為判別負定矩陣、半正定矩陣和半負定矩陣的準則。注意當M是半正定時，相應的Gram矩陣不必由線性無關的向量組成。對任意矩陣，AA必然是半正定的，並有rank()=rank（AA，兩者的秩相等）。反過來，任意的半正定矩陣都可以寫作M=A^*A，這就是Cholesky分解。

一個埃爾米特矩陣M是負定矩陣若且唯若M的所有奇數階順序主子式小於0，所有偶數階順序主子式大於0。當M是負定矩陣時，M的逆矩陣也是負定的。

如果一個埃爾米特矩陣既不是半正定也不是半負定的，那么稱其為不定矩陣。

相關性質

若為半正定陣，可以寫作。如果是正定陣，可以寫作。這個記法來自泛函分析，其中的正定陣定義了正運算元。

對於一般的埃爾米特矩陣，、，若且唯若。這樣可以定義一個在埃爾米特矩陣集合上的偏序關係。類似地，可以定義。

每個正定陣都是可逆的，它的逆也是正定陣。如果那么。

如果是正定陣，為正實數，那么也是正定陣。

非埃爾米特矩陣的情況

一個實矩陣M可能滿足對所有的非零實向量x，x^TMx>0而並不是對稱矩陣。舉例來說，矩陣

就滿足這個條件。對並且，

一般來說，一個實係數矩陣M滿足對所有非零實向量x，有x^TMx>0，若且唯若對稱矩陣(M+M^T)/2是正定矩陣。

對於復係數矩陣，情況可能不太一樣。主要看的是怎樣擴展z^*Mz>0這一性質。要使z^*Mz總為實數，矩陣M必須是埃爾米特矩陣。因此，若z^*Mz總是正實數，M必然是正定的埃爾米特矩陣。如果將z^*Mz>0擴展為Re(z^*Mz)>0，則等價於（M+M^*）/2為正定陣。

參見

• 矩陣
  
• 確定雙線性形式
  
• 矩陣的平方根
  
• 舒爾補
  
• 正定核
  
• 正定函式
  
• Cholesky分解