正定函式

正定函式是一個在許多領域都會遇到並且很有用的概念。如機率論中隨機變數的特徵函式就是正定函式。特徵函式比隨機變數的分布函式更易於處理。在Lyapunov穩定性理論中,Lyapunov函式的正定及其導數的負定說明了系統的穩定性。

基本介紹

  • 中文名:正定函式
  • 外文名:positive definite function
  • 套用領域:數學
定義,套用,Lyapunov穩定性,

定義

是包含原點的一個區域,如果定義在
上的連續函式
滿足:
,以及
。則稱
正定的。如果只滿足弱一點的條件,對
,只有
,則稱
半正定的。
此外,如果
是正定的或者半正定的,則稱
負定的或者半負定的。如果不能斷定
為四種情況中的某一種,則稱它是不定的。

套用

Lyapunov穩定性

是包含原點的一個區域,
為定義在
上滿足局部Lipschitz條件,且
。對於系統
,如果存在一個連續可微的正定函式
使得
為半負定,則原點
為系統的穩定平衡點。如果進一步使得
為負定的,則原點具有漸近穩定性;如果
還滿足徑向無界,則原點具有全局漸近穩定性

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