全局漸近穩定性

全局漸近穩定性(global asymptotic stability)是指一類全相空間均為吸引區域的漸近穩定性。對於線性系統而言，一個線性系統如果是漸近穩定的，則必然是全局漸近穩定的。

基本介紹

• 中文名：全局漸近穩定性
• 外文名：global asymptotic stability
• 所屬學科：數學（現代控制理論）
• 相關概念：穩定性、平衡點、漸進穩定性等

總體介紹

全局漸近穩定性是一類全相空間均為吸引區域的漸近穩定性。考慮微分方程組

其中在域上定義且連續並滿足局部李普希茨條件，同時設，因此，對任何初始值，存在(1)的惟一的解滿足。由李亞普諾夫第二方法知道，如果存在一個定正函式，它關於(1)的導數是定負的，那么，方程(1)的奇點是漸近穩定的，方程組(1)的奇點的吸引區域(或稱漸近穩定性區域)是所有具有性質

的點的集合。如果吸引區域是整個相空間，則被稱為全局漸近穩定的，這時下面的結論成立：如果存在定正函式，它關於(1)的導數是定負的，並且是徑向無界的，則奇點是全局漸近穩定的，李亞普諾夫(А.М.Ляпунов,)原來只考慮原點附近即局部的穩定性，克拉索夫斯基(Н.Н.Красовский)將其推廣為全相空間，即全局的穩定性。

相關概念及定理

平衡狀態

考慮如下非線性動態系統(可以是控制量保持不變的被控對象，也可以是包括被控對象和控制器在內的閉環系統)的狀態方程

式中，為n維狀態向量；為初始狀態；為連續時間變數；為初始時刻。

如果狀態空間存在某一狀態滿足

則稱是系統的一個平衡狀態，也稱平衡點。也就是說，只要無外力作用於系統，存平衡點處系統狀態的變化速度為0，系統將永遠保持在這個平衡狀態上。

穩定性

如果對於任意給定實數，存在一個與和有關的實數，只要初始狀態滿足，系統狀態方程式(2)的解滿足

那么，稱系統的平衡點是Lyapunov意義下穩定的。

注釋： 定義中實數通常有，定義的直觀含義是，在系統受到較小的初始擾動後。系統運動的軌線不會偏離平衡點很遠。在二維情況下，設,的分量分別是和，那么在和組成的二維狀態空間平面中．狀態方程式(2)的解就是起點為的一條連續的運動軌跡。定義所指的Lyapunov意義下穩定的含義如圖1(a)所示。

圖1（a） 穩定

圖1（b）漸近穩定

圖1（c） 全局漸近穩定

圖1（d）不 穩定

另外，凡是不滿足穩定性定義的系統是不穩定系統，其直觀意義如圖1(d)所示。

漸近穩定性

連續時變非線性系統的狀態空間模型的一般形式為

式中，為n維狀態變數，和分別為系統的輸入和輸出向量；t為連續時間變數；為 對時間t的一階導數；和分別為關於和的有界、連續可微的非線性向量函式；n為系統的階次。

如果式(3)所示動態系統的一個平衡狀態滿足

(1) 是Lyapunov意義下穩定的；

(2) 存在一個實數，使得只要初始狀態滿足，就有

則稱是漸近穩定的。

注釋: 定義的含義是一切由平衡點的，個小的鄰域m發的運動軌線，最終都將收斂到平衡點處，如圖1(b)所示。

全局漸近穩定性的意義

如果式(3)所示動態系統的一個平衡狀態對所有有

① 是穩定的；

② 則稱是全局漸近穩定的。

注釋： 定義的直觀解義如圖1(c)所示。對於線性系統而言，一個線性系統如果是漸近穩定的，則必然是全局漸近穩定的。

上述各種穩定性定義之間的包含關係如圖2所示。

圖2 各種穩定性定義之間的關係