基本介紹
- 中文名：非負定矩陣
- 外文名：nonnegative definite matrix
定義,判別方法,正定矩陣辨別方法,負定矩陣判別方法,半正定矩陣判別方法,
定義
因為正定二次型與正定矩陣有密切的聯繫，所以在定義正定矩陣之前，讓我們先定義正定二次型:
設有二次型 ,如果對任何x 0都有f(x)>0( 0) ，則稱f(x)為正定（半正定）二次型。
相應的，正定（半正定）矩陣和負定（半負定）矩陣的定義為：
令A為 n 階對稱矩陣，若對任意n 維向量 x≠ 0都有 f(x)>0(≥0)，則稱A正定（半正定）矩陣；反之，令A為n 階對稱矩陣，若對任意 n 維向量 x≠0 ,都有 f(x)<0（≤ 0）， 則稱A負定（半負定）矩陣。
例如，單位矩陣E 就是正定矩陣。
判別方法
正定矩陣辨別方法
由正定矩陣的概念可知，判別正定矩陣有如下方法：
1.n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是A的 n 個特徵值全是正數。
證明：若 ， 則有
∴λ>0
反之，必存在U使
即
有
這就證明了A正定。
由上面的判別正定性的方法，不難得到A為半正定矩陣的充要條件是：A的特徵值全部非負。
2．n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是A契約於單位矩陣E。
證明：A正定
二次型 正定
A的正慣性指數為n
3．n階對稱矩陣A正定（半正定）的充分必要條件是存在 n階可逆矩陣U使 ；進一步有 （B為正定（半正定）矩陣）。
證明：n階對稱矩陣A正定，則存在可逆矩陣U使
令 則
令 則
反之，
∴A正定。
同理可證A為半正定時的情況。
4．n階對稱矩陣A正定，則A的主對角線元素 。
證明：（1）∵n階對稱矩陣A正定
∴ 是正定二次型
現取一組不全為0 的數0,…,0,1,0…0(其中第I個數為1)代入，有
∴
∴A正定
∴存在可逆矩陣C ，使
5．n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是：A的 n 個順序主子式全大於零。
證明：必要性：
設二次型 是正定的
對每個k,k=1,2,…,n,令
，
現證 是一個k元二次型。
∵對任意k個不全為零的實數 ，有
∴ 是正定的
∴ 的矩陣
是正定矩陣
即
即A的順序主子式全大於零。
充分性：
對n作數學歸納法
當n=1時，
∵ ， 顯然 是正定的。
假設對n-1元實二次型結論成立，現證明n元的情形。
令 ， ，
∴A可分塊寫成
∵A的順序主子式全大於零
∴ 的順序主子式也全大於零
由歸納假設， 是正定矩陣即，存在n-1階可逆矩陣Q使
令
∴
再令 ，
有
令 ，
就有
兩邊取行列式，則
由條件 得a>0
顯然
即A契約於E ，
∴A是正定的。
負定矩陣判別方法
1．n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的負慣性指數為n。
2．n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的特徵值全小於零。
3．n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的順序主子式 滿足。
即奇數階順序主子式全小於零，偶數階順序主子式全大於零。
由於A是負定的若且唯若-A是正定的，所以上敘結論不難從正定性的有關結論直接得出，故證明略。
半正定矩陣判別方法
1．n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的正慣性指數等於它的秩。
2．n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的特徵值全大於等於零，但至少有一個特徵值等於零。
3．n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的各階主子式全大於等於零，但至少有一個主子式等於零。
註：3中指的是主子式而不是順序主子式，實際上，只有順序主子式大於等於零並不能保證A是半正定的，例如：
矩陣 的順序主子式 ，但A並不是半正定的。
