正交群是一類重要的典型群。在實數域的特殊情形，全體n×n正交方陣在矩陣乘法下構成的群稱為n次正交群，記為O(n)。一般地，設V是域K上n維列向量空間，Q(x)=xAx是V上的非退化二次型(A是K上某個n×n矩陣)，若g∈GL(V)使Q(gx)=Q(x)對所有的x∈V成立，則稱g是關於Q的正交變換。關於Q的全體正交變換在映射乘法下構成一個群，稱為關於Q的正交群，記為On(K，Q)。
正交群，歐氏平面內，所有正交變換的集合構成群，稱為正交變換群，簡稱正交群，它是一個三維群。
基本介紹
- 中文名：正交群
- 外文名：orthogonal group
- 性質1：恆等變換是正交變換
- 性質2：正交變換的逆變換是正交變換。
- 性質3：乘積仍然是正交變換
- 相關群：辛群、酉群、一般線性群
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概念介紹
歐氏平面內，所有正交變換的集合構成群，稱為正交變換群，簡稱正交群，它是一個三維群。
例如，歐氏平面上正交變換構成群，所以正交變換具有下列三個性質：
（1） 恆等變換是正交變換
（2） 正交變換的逆變換是正交變換。
（3） 兩個正交變換的乘積仍然是正交變換。
一個圖形與經過正交變換所得到的對應圖形是契約的。由此可推出：契約具有反身性，對稱性和傳遞性，因而契約關係是一等價關係，它可將平面上所有的圖形分類，凡契約的圖形屬於同一等價類，歐氏幾何是研究等價類里一切圖形所共有的性質，圖形關於正交變換群下的不變性質所構成的命題系統就是歐氏幾何學。
研究圖形關於正交變換群下圖形的不變性質和不變數的幾何分支就是歐氏幾何。歐氏幾何是仿射幾何的子幾何，也是射影幾何的子幾何所以射影性質、仿射性質都是歐氏幾何的不變性質。此外，在歐氏幾何中還可以研究長度、角度等度量性質。
定義
正交群是一類重要的典型群。在實數域的特殊情形，全體n×n正交方陣在矩陣乘法下構成的群稱為n次正交群，記為O(n)。一般地，設V是域K上n維列向量空間，Q(x)=xAx是V上的非退化二次型(A是K上某個n×n矩陣)，若g∈GL(V)使Q(gx)=Q(x)對所有的x∈V成立，則稱g是關於Q的正交變換。關於Q的全體正交變換在映射乘法下構成一個群，稱為關於Q的正交群，記為On(K，Q)。當K的特徵≠2時，V上每個非退化對稱雙線性型f也決定一個正交群：
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
典型群
典型群是一類重要的群。一般線性群、酉群、辛群、正交群，以及它們的換位子群、對中心的商群等統稱為典型群.實數域和複數域上的典型群是李群的重要例子，它們的構造及表示在李群理論、幾何學、多複變函數論以至物理學中都起著重要作用。迪克森(Dickson，L.E.)通過對有限域上典型群的構造的研究得到了一大批有限單群。這是繼交錯群之後人們發現的又一批重要的有限單群系列.經過謝瓦萊(Chevalley，C.)的工作進一步擴展為有限李型單群的系列後，為有限單群分類的最後完成奠定了一個重要基礎。迪厄多內(Dieudonné，J.)將迪克森的工作加以推廣，通過研究任意體上的典型群的構造也得到了大量的單群。迪厄多內、施賴埃爾(Schreier，O.)、范·德·瓦爾登(Van der Waerden，B.L.)、華羅庚、萬哲先等對研究典型群的構造、自同構及同構作出了重要貢獻。
相關群
辛群
辛群是一類重要的群。辛空間的自同構群。設(V，ω)是一辛空間，若φ：V→V是線性同構且滿足ω(φX，φY)=ω(X，Y)，X，Y∈V，則稱φ為(V，ω)的一個自同構。(V，ω)的自同構全體構成群GL(V)的一個子群，記為SP(V，ω)。特別地，標準辛空間(K，ω)的自同構群記為Sp(2n，K).若K=R(實數域)，則把Sp(2n，K)簡記為Sp(2n)並稱它為2n維辛群。
酉群
酉群是一類重要的典型群。在複數域的特殊情形，全體n×n酉方陣在矩陣乘法下構成的群稱為n次酉群，記為U(n).一般地，設K是帶有對合J：a→a-的體，V是K上n維列向量空間，f(x，y)=x-Hy是V上非退化厄米特型或反厄米特型，這裡H∈GLn(K)且=εH，ε=±1.若A∈GL(V)使f(Ax，Ay)=f(x，y)對所有的x，y∈V成立，則稱A是關於f的酉變換.關於f的全體酉變換組成GL(V)的一個子群，稱為關於f的酉群，記為Un(K，f).從矩陣的觀點看，Un(K，f)={A∈GLn(K)|HA=H}。當f是交錯雙線性型時Un(K，f)就是辛群Spn(K，f);當K的特徵≠2且f是對稱雙線性型時Un(K，f)就是正交群On(K，f);當K是複數域，J是復共軛，H=I時，酉群Un(K，f)就是酉群U(n)。
一般線性群
一般線性群亦稱全線性群。一類重要的典型群。若V是體K上n維右線性空間，則V上全體可逆線性變換在映射的乘法下構成一個群，稱為V上的一般線性群或全線性群，記為GL(V)。體K上全體n×n可逆方陣在矩陣乘法下構成一個群，稱為K上n次一般線性群，記為GLn(K)或GL(n，K)。取定V在K上任一組基後可將每個g∈GL(V)對應一個矩陣A∈GLn(K)，從而得到GL(V)到GLn(K)上的一個同構。在這個意義下，可以將GL(V)與GLn(K)等同起來。
