正交變換

在線性代數中，正交變換是線性變換的一種，它從實內積空間V映射到V自身，且保證變換前後內積不變。

因為向量的模長與夾角都是用內積定義的，所以正交變換前後一對向量各自的模長和它們的夾角都不變。特別地，標準正交基經正交變換後仍為標準正交基。

在有限維空間中，正交變換在標準正交基下的矩陣表示為正交矩陣，其所有行和所有列也都各自構成V的一組標準正交基。因為正交矩陣的行列式只可能為+1或−1，故正交變換的行列式為+1或−1。行列式為+1和−1的正交變換分別稱為第一類的（對應旋轉變換）和第二類的（對應瑕旋轉變換）[2]。可見，歐幾里得空間中的正交變換隻包含旋轉、反射及它們的組合（即瑕旋轉）。

正交變換的逆變換也是正交變換，後者的矩陣表示是前者矩陣表示的逆。

基本介紹

• 中文名：正交變換
• 外文名：orthogonal mapping
• 學科：數學
• 屬於：線性變換
• 包含：旋轉和軸對稱
• 性質：逆變換也是正交變換

定義

在線性代數中，正交變換是線性變換的一種。對一個由空間投射到同一空間的線性轉換，如果轉換後的向量長度與轉換前的長度相同，則為正交變換。

其中在空間內，n表示維度。

對於正交變換T以及兩個向量和，和之內積等於正交轉換後之向量和之內積。

其中N為向量長度，u[n]和v[n]分別為和之元素，正交變換不會影響轉換前後向量間的夾角和內積長度。

在矩陣表示形式上，如果為正交變換，則為正交矩陣，對於正交變換之正交矩陣，其每個列互為正交，令為之矩陣，取兩個不相同的列和遵守下列關係。

等價刻畫

設σ是n維歐氏空間V的一個線性變換，於是下面4個命題等價

1.σ是正交變換；

2.σ保持向量長度不變，即對於任意α∈V，丨σ(α)丨=丨α丨；

3.如果ε_1,ε_2,...,ε_n是標準正交基，那么σ(ε_1),σ(ε_2),...,σ(ε_n)也是標準正交基；

4.σ在任意一組標準正交基下的矩陣是正交矩陣。

正交矩陣

定義：n級實矩陣A稱為正交矩陣，如果A*A=E。(A*表示A的共軛轉置，E是單位矩陣)

分類

設A是n維歐氏空間V的一個正交變換σ在一組標準正交基下的矩陣

若丨A丨=1，則稱σ為第一類正交變換，

若丨A丨=-1，則稱σ為第二類正交變換。

性質

（1）正交變換不會改變向量間的正交性，如果和正交，則和亦為正交。

（2）如果和皆為正交矩陣，則亦為正交矩陣。

（3）如果為正交矩陣，的反矩陣亦為正交矩陣。

（4）正交變換容易做反運算。

（5）對於正交變換，如果和可以做內積，和做內積之值等於和做內積之值。

套用

正交變換的種類非常的廣，像是discrete Fourier transform、discrete cosine, sine, Hartley transforms、Walsh Transform, Haar Transform等都屬於正交變換。對矩陣做旋轉或是鏡射也屬於正交變換。