代數拓撲

代數拓撲(Algebraic topology)是使用抽象代數的工具來研究拓撲空間的數學分支。

賦以拓撲的集合叫拓撲空間。拓撲基[topologique (base)]設E為拓撲向量空間，則E的任一拓撲自由與拓撲生成的向量族皆稱為拓撲基。

分離的準希爾伯特向量空間的希爾伯特基是拓撲基。

如果E是無限維的可分巴拿赫空間，則任何基皆非拓撲基，而任何拓撲基亦非基。

基本介紹

• 中文名：代數拓撲
• 外文名：Algebraic topology
• 學科類別：數學
• 用途：研究拓撲空間
• 性質：歐幾里得空間的推廣
• 實例：豪斯多夫空間

詳細介紹

拓撲空間是一般拓撲學的基本研究對象。確定了拓撲T的集合X稱為拓撲空間，記為(X，T)。具有拓撲結構的抽象空間是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)於1906年和里斯(Riesz，F.(F.))於1907年首先引進的。弗雷歇用收斂序列，里斯用聚點分別定義了他們的空間。但里斯的定義過於一般且比較複雜，弗雷歇的定義過於狹窄。第一個令人滿意的拓撲空間的定義是豪斯多夫(Hausdorff，F.)於1914年用鄰域系提出的。他的定義發展了希爾伯特(Hilbert，D.)於1902年和外爾(Weyl，(C.H.)H.)於1913年的思想。希爾伯特和外爾用鄰域分別給出平面和黎曼曲面的一種公理描述.而豪斯多夫將他們引進的概念給出適當的一般化，並發展成有系統且詳盡的一般理論，從而奠定了一般拓撲學這一學科。稍後，穆爾(Moore，R.L.)於1916年用開集系，庫拉托夫斯基(Kuratowski，K.)於1922年用閉包運算元分別提出另一種公理系統，它們都是等價的。還可用閉集系、內部運算元、收斂類等各種不同公理系統刻畫拓撲空間。目前較常用的是開集系、鄰域系或閉包運算元等公理系統建立拓撲空間。

發展歷史

歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。

20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。

此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。

代數不變數方法

這裡的目標是取拓撲空間然後把它們進一步分成範疇或分類。該課題的舊稱之一是組合拓撲，蘊含著將重點放在如何從更簡單的空間構造空間X的意思。如今套用於代數拓撲的基本方法是通過代數不變數，把空間映射到不變數上，例如，通過一種保持空間的同胚關係的方式映射到群上。

實現這個的兩個主要方法是通過基本群，或者更一般的同倫理論，和同調及上同調群。基本群給了我們關於拓撲空間結構的基本信息，但它們經常是非交換的，可能很難使用。（有限）單純復形的基本群的確有有限表示。

另一方面來講，同調和上同調群是可交換群，並且在許多重要情形下是有限生成的。有限生成交換群有完整的分類，並且特別易於使用。

同調的結果

通過使用有限生成可交換群可以立刻得出幾個有用的結論。單純復形的n-階同調群的自由階等於n-階貝蒂數(Betti number),所以可以直接使用單純復形的同調群來計算它的歐拉特徵數。作為另外一個例子，閉流形的最高維的積分上同調群可以探測可定向性：該群同構於整數或者0，分別在流形可定向和不可定向時。這樣，很多拓撲信息可以在給定拓撲空間的同調中找到。

在只定義在單純復形的單純同調之上，還可以使用光滑流形的微分結構來通過德拉姆上同調或Čech上同調或層上同調來研究定義在流形上的微分方程的可解性。德拉姆證明所有這些方法是相互關聯的，並且對於閉可定向流形，通過單純同調得出的貝蒂數和從德拉姆上同調導出的是一樣的。

在範疇論中

一般來講，所有代數幾何的構造都是函子式的：概念範疇, 函子和自然變換起源於此。基本群，同調和上同調群不僅是兩個拓撲空間同胚時的不變數；而且空間的連續映射可以導出所相關的群的一個群同態，而這些同態可以用於證明映射的不存在性（或者，更深入的，存在性）。

代數拓撲的問題

代數拓撲的經典套用包括：

▲Brouwer不動點定理：每個從n維圓盤到自身的連續映射存在一個不動點。

▲n維球面可以有一個無處為0的連續單位向量場若且唯若n是奇數。(對於n=2,這有時被稱為"毛球定理"。)

▲Borsuk-Ulam定理:任何從n維球面到歐氏n維空間的映射至少將一對對角點映射到同一點。

▲任何自由群的子群是自由的。這個結果很有意思，因為該命題是純代數的而最簡單的證明卻是拓撲的。也就是說，任何自由群G可以實現為圖X的基本群。覆蓋空間的主定理告訴我們每個G的子群H是某個X的覆蓋空間Y的基本群；但是每個這樣的Y又是一個圖。所以其基本群H是自由的。

代數拓撲中最著名的幾何問題是龐加萊猜想。它已經由Hamilton，Grigori Perelman等數學家們解決（龐加萊定理）。同倫理論領域包含了很多懸疑，最著名的有表述球面的同倫群的正確方式。