流形

流形是局部具有歐幾里得空間性質的空間，在數學中用於描述幾何形體。物理上，經典力學的相空間和構造廣義相對論的時空模型的四維偽黎曼流形都是流形的實例。

基本介紹

• 中文名：流形
• 外文名：manifold
• 是歐幾里得：空間中的曲線
• 是局部具有：歐幾里得空間性質的空間

發展歷史

n維流形的概念，在J.L.Lagrange的力學中已經初見端倪，十九世紀中期，已經知道n維Euclid空間是n個實變數的連續統，但是一般n維流形的概念是B.Riemann研究微分幾何學時引進的，他是用歸納法進行構造的。正如曲線的運動形成曲面一樣，n維流形是把無限多個（n-1）維流形按照一維流形方式放在一起而形成的。流形的拓撲結構的研究與其局部理論的研究是同時開始的，Riemann、E.Betti、H.Poincaré等人套用的是解析方法，但是，Poincaré為了擺脫這種方法的困難與不利之處，將n維流形定義為一種連通的拓撲空間，其中每一點都具有和n維Euclid空間同胚的鄰域，並對之進行研究，從而開闢了組合拓撲學的道路。

定義

在n維Euclid空間中，由定義的半空間用表示。Hausdorff空間M，當每點p具有與或同胚的開鄰域U(p)時，稱為n維拓撲流形。U(p)≈（同胚）的點p的全體∂M稱為流形M的邊緣，其補集稱為M的內部，∂M=Φ的流形稱為無邊緣流形。

n維流形M的邊緣∂M是n-1維無邊緣流形。緊的無邊緣的連通流形稱為閉流形，非緊的無邊緣的連通流形稱為開流形。存在連通的但非仿緊的拓撲流形。一維的這種流形稱為長直線。

圓周

圓周是除歐氏空間外最簡單的流形。讓我們考慮二維平面內一個半徑為1，圓心在原點的圓（單位圓）。若x和y是平面上的歐式坐標，那么單位圓的方程就是。

局部坐標卡

單位圓的任意一點附近的一小段都像一條線。而線是一維的圖形，我們只要一個坐標就可以標記這一小段上的一個點。例如單位圓在x軸上方的半圓上的任何一點都可以用x坐標確定。所以，存在雙射X_top，它通過簡單的投影到第一個坐標(x)將圓的黃色部分映射到開區間(−1, 1)：。

這樣的一個函式稱為一個局部坐標卡（local coordinate chart）。類似的，單位圓的下半圓，左半圓，右半圓上也有相應的坐標卡。這四個半圓可以覆蓋整個單位圓，我們稱對應的四個局部坐標卡組成這個單位圓的一個坐標圖集（atlas）。

坐標變換

注意上部和右部的坐標卡的重疊部分。它們的交集位於圓上x和y坐標都是正的四分之一弧上。兩個圖χ_top 和χ_right 將這部分雙射到區間(0, 1)。這樣我們有個函式T 從(0, 1)到它自己，首先取黃色圖的逆到達圓上再通過綠圖回到該區間:。

這樣的函式稱為變換映射（坐標變換）。

從微積分的觀點來看，圓的變換函式T只是開區間之間的函式，所以我們知道它意味著T是可微的。事實上，T在(0, 1)可微而且對於其他變換函式也是一樣。所以，這個圖集把圓圈變成可微流形。

坐標圖集

上面這四個坐標卡和它們之間的坐標變換說明單位圓是一個流形。但在單位圓上還可以有其他的坐標卡和坐標圖集。考慮坐標卡 和。這裡s是穿過坐標為(x,y)的可變點和固定的中心點(−1,0)的線的斜率；t是鏡像對稱，其中心點為(1,0)。s到(x,y)的逆映射為。

我們很容易確認對於所有斜率值s成立。這兩個坐標卡提供了圓周的又一個圖集，其變換函式為

。

注意每個坐標卡都缺了一點，對於s是(−1,0)，對於t是(+1,0)，所以每個坐標卡不能獨自覆蓋整個單位圓。利用拓撲學的工具，我們可以證明沒有單個的坐標卡可以覆蓋整個單位圓；在這個簡單的例子裡，我們已經需要用到流形可以擁有多個坐標圖的靈活性。

流形反例

流形不必是連通的（整個只有一片），所以兩個不相交的圓周也是一個拓撲流形。流形不必是閉的，所以不帶兩個端點的線段也是流形。流形也不必有限，所以拋物線這樣的圖形也是一個拓撲流形。

但是，我們排除了向兩個相切的圓（它們共享一點並形成8字形）的例子；切點的附近任意小的一部分都不同胚於歐式空間的任何一個開集。

重要流形

拓撲流形：拓撲流形為最容易定義的流形，它局部看起來象一些“普通”的歐氏空間。形式化的講，一個拓撲流形是一個局部同胚於一個歐氏空間（或上半歐式空間）的拓撲空間。這表示每個點有一個鄰域，它有一個同胚(連續雙射其逆也連續)將它映射到（）。這些同胚是流形的坐標圖。

微分流形：微分流形也稱為光滑流形，是拓撲學和幾何學中一類重要的空間，是帶有微分結構的拓撲流形。 微分流形是微分幾何與微分拓撲的主要研究對象，是三維歐式空間中曲線和曲面概念的推廣，可以有更高的維數，而不必有距離和度量的概念。