本書是微分流形和現代幾何的一本入門教材。本書從微分流形的定義出發，介紹了現代幾何學研究中的各種基本概念和技巧。前兩章為基礎內容，主要介紹流形上的微積分並證明 Stokes積分公式。後三章分別從幾何、拓撲和整體分析三個方面闡述現代幾何中的一些重大成果，如 Gauss-Bonnet-Chern 公式、Hodge 定理以及 Atiyah-Singer 指標公式等。
基本介紹
- 書名：流形與幾何初步
- 出版社：科學出版社
- 頁數：322頁
- 開本：16
- 品牌：科學出版社
- 作者：梅加強
- 出版日期：2013年1月1日
- 語種：簡體中文
- ISBN：9787030360311
內容簡介,圖書目錄,
內容簡介
《流形與幾何初步》可作為綜合性大學、師範院校數學系高年級本科生和研究生選修課教材，也可供數學、物理工作者參考。
圖書目錄
前言
第1章微分流形
1.1流形的定義和例子
1.2子流形
1.3單位分解
1.4切空間和切映射
1.5Sard定理及套用
1.6Lie群初步
第2章流形上的微積分
2.1切叢和切向量場
2.2丁積性定理及套用
2.3向量叢和纖維叢
2.4張量叢
2.5微分形式
2.6帶邊流形
2.7Stokes積分公式
第3章流形的幾何
3.1度量回顧
3.2聯絡
3.3曲率
3.4聯絡和曲率的計算
3.4.1活動標架法
3.4.2正規坐標
3.5子流形幾何
3.5.1第二基本形式
3.5.2活動標架法
3.5.3極小子流形
3.5.4黎曼淹沒
3.6齊性空間
3.6.1Lie群和不變度量
3.6.2齊性空間
3.6.3對稱空間
3.7主叢及其聯絡
3.8Gauss—Bonnet—Chern公式
3.8.1向量場的指標
3.8.2單位球叢上的計算
3.9Chern—Weil理論
第4章流形的上同調
4.1Poincard引理
4.1.1Poincar6引理
4.1.2映射度回顧
4.2deRham上同調群的計算
4.2.1群作用與上同調
4.2.2Mayer—Vietoris正合序列
4.3Thom類和相交數
4.3.1Trhom類
4.3.2相交數
4.4Hodge理論
4.4.1Hodge星運算元
4.4.2Bochner技巧
4.5Dirac運算元
4.5.1Clifford代數
4.5.2Clifford叢
第5章流形上的橢圓運算元
5.1Sobolev空間
5.2Hodge定理的證明
5.3熱方程與熱核
5.4跡與指標公式
5.5指標公式的證明
5.5.1諧振子
5.5.2Atiyah—Singer指標定理
參考文獻
索引
第1章微分流形
1.1流形的定義和例子
1.2子流形
1.3單位分解
1.4切空間和切映射
1.5Sard定理及套用
1.6Lie群初步
第2章流形上的微積分
2.1切叢和切向量場
2.2丁積性定理及套用
2.3向量叢和纖維叢
2.4張量叢
2.5微分形式
2.6帶邊流形
2.7Stokes積分公式
第3章流形的幾何
3.1度量回顧
3.2聯絡
3.3曲率
3.4聯絡和曲率的計算
3.4.1活動標架法
3.4.2正規坐標
3.5子流形幾何
3.5.1第二基本形式
3.5.2活動標架法
3.5.3極小子流形
3.5.4黎曼淹沒
3.6齊性空間
3.6.1Lie群和不變度量
3.6.2齊性空間
3.6.3對稱空間
3.7主叢及其聯絡
3.8Gauss—Bonnet—Chern公式
3.8.1向量場的指標
3.8.2單位球叢上的計算
3.9Chern—Weil理論
第4章流形的上同調
4.1Poincard引理
4.1.1Poincar6引理
4.1.2映射度回顧
4.2deRham上同調群的計算
4.2.1群作用與上同調
4.2.2Mayer—Vietoris正合序列
4.3Thom類和相交數
4.3.1Trhom類
4.3.2相交數
4.4Hodge理論
4.4.1Hodge星運算元
4.4.2Bochner技巧
4.5Dirac運算元
4.5.1Clifford代數
4.5.2Clifford叢
第5章流形上的橢圓運算元
5.1Sobolev空間
5.2Hodge定理的證明
5.3熱方程與熱核
5.4跡與指標公式
5.5指標公式的證明
5.5.1諧振子
5.5.2Atiyah—Singer指標定理
參考文獻
索引
