巴拿赫流形

巴拿赫流形是有限維流形的無窮維推廣，巴拿赫流形一般均指巴拿赫微分流形，光滑流形一般是指C^∞流形。

基本介紹

• 中文名：巴拿赫流形
• 外文名：Banach manifold
• 適用範圍：數理科學

簡介

巴拿赫流形是有限維流形的無窮維推廣。

設M是豪斯多夫拓撲空間，E是巴拿赫空間。若對於M上的每一點p，均存在p的開鄰域U與從U到E中某開集上的同胚映射φ:U→p(U) E，則稱M為以E為模的巴拿赫拓撲流形或者C⁰巴拿赫流形。

這時每個(U,φ)稱為M上的個區圖。

性質

設M是以E為模的C⁰巴拿赫流形，r是某個正整數或+∞，(U_α,φ_α)與(U_β,φ_β)是M上的兩個區圖。若U_α∩U_β=∅，或當U_α∩U_β≠∅時其傳遞函式

是C^r微分同胚，則稱這兩個區圖是C^r相容的。

設D是由M上的一些區圖所成之族。若D中任意兩個成員均是C^r相容的，且D構成M的開覆蓋，則稱D為M上的一個C^r圖冊。如果M上的一個C^r圖冊D在C^r相容的意義下還是極大的，即不能在D中再添加新的成員使其仍保持C^r相容性，則稱D為M上的一個C^r微分結構。

特殊巴拿赫流形

M連同其上指定的一個C^r微分結構D，稱為以E為模的C^r巴拿赫流形，記為(M,D)。由於M上的一個C圖冊總可惟一地生成一個極大的C^r圖冊，因此當給定了M上的一個C^r圖冊D（不必極大）時，亦稱(M,D)是C^r巴拿赫流形。

C巴拿赫流形(M,ID)上的區圖指的是D中的成員。當p∈U_α時，(M,D)上的區圖(U_α,φ_α)亦稱為在點p處的局部坐標系。r≥1時的C^r巴拿赫流形稱為巴拿赫微分流形。如無特別說明，

巴拿赫流形一般均指巴拿赫微分流形，光滑流形一般是指C^∞流形。

巴拿赫空間E本身，連同其上的一個C^∞圖冊D={(E,I)}（此圖冊僅由一個成員組成，其中I為E上的恆同映射），成為一個以E為模的C^∞巴拿赫流形。通常說到E是巴拿赫流形時即是在此意義下而言。