簡介
偽梯度向量場(pseudo-gradient vector field)梯度向量場在不適合用來構造下降流時的一種替代物.當M是一般巴拿赫流形，.f E C2-0 <M, R)時，餘切向量場df不能用來構造下降流.當M是希爾伯特流形而.fEC'(M,R)時梯度向量場Of也不能用來構造下降流.偽梯度向量場是克服這兩種困難的工具.設M是Cz。巴拿赫一芬斯勒流形，.f EC'<M,R>，記K為f在M上的所有臨界點所成之集，令後= M\K.若V是後上的一個C，一‘，(切)向量場，且滿足條件:
1.}}V<p> }} }2}!df<p>日(dpEM>;
2. (df <p),V<p)))日df <p)}}z<dpE而);
則稱V是f的一個偽梯度向量場.Cz“巴拿赫一芬斯勒流形上任一C'泛函的偽梯度向量場總是存在的.由一V在後上生成的流稱為f的偽梯度下降流，或負偽梯度流，也常簡稱偽梯度流.f在負偽梯度流的流線上是下降的.偽梯度向量場的概念及其存在性最早由帕萊斯(Palais , R. S.)於1966年給出.
