希爾伯特-黎曼流形

希爾伯特-黎曼流形(Hilbert-Riemann manifold)是指定了黎曼度量的希爾伯特流形。

基本介紹

  • 中文名:希爾伯特-黎曼流形
  • 外文名:Hilbert-Riemann manifold
  • 適用範圍:數理科學
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簡介

希爾伯特流形

希爾伯特流形是模空間希爾伯特空間的巴拿赫流形。

定義

希爾伯特-黎曼流形是指定了黎曼度量的希爾伯特流形。
設M是希爾伯特微分流形,M上的黎曼度量指的是M上的一個連續的正定對稱二階協變張量場g。M連同其上給定的黎曼度量g稱為希爾伯特-黎曼流形,記為(M,g),這時,∀p∈M,由
給出了TpM上的內積<∙,∙>p=gp(∙,∙)。

性質

當M連通時,黎曼度量g誘導出了M上的距離ρ。
若(M,ρ)是完備的度量空間,則稱(M,ρ)是完備的希爾伯特-黎曼流形。當M仿緊時,M上的黎曼度量是存在的。
黎曼度量是一種特殊的芬斯勒結構。希爾伯特-黎曼流形是特殊的巴拿赫-芬斯勒流形。

芬斯勒結構

芬斯勒結構是巴拿赫向量叢上的範數結構。
芬斯勒結構因芬斯勒(Finsler,P. )的工作而得名。
當巴拿赫流形M仿緊時,叢ξ上芬斯勒結構總是存在的。

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