度量空間

概念介紹

現代數學中一種基本的、重要的、最接近於歐幾里得空間的抽象空間。19世紀末葉，德國數學家G.康托爾創立了集合論，為各種抽象空間的建立奠定了基礎。20世紀初期，法國數學家M.R.弗雷歇發現許多分析學的成果從更抽象的觀點看來，都涉及函式間的距離關係，從而抽象出度量空間的概念。

度量空間中最符合我們對於現實直觀理解的是三維歐氏空間。這個空間中的歐幾里德度量定義兩點之間距離為連線這兩點的線段的長度。

定義

設X為一個集合，一個映射d：X×X→R。若對於任何x,y,z屬於X，有

（I）（正定性）d(x,y）≥0，且d(x,y)=0若且唯若x = y；

（Ⅱ）（對稱性）d(x,y)=d(y,x）；

（Ⅲ）（三角不等式）d(x,z）≤d(x,y)+d(y,z）

則稱d為集合X的一個度量（或距離）。稱偶對（X，d）為一個度量空間，或者稱X為一個對於度量d而言的度量空間。

詳細定義

度量空間亦稱距離空間。一種拓撲空間，其上的拓撲由距離決定。設R是一個非空集合，ρ(x，y)是R上的二元函式，滿足如下條件：

1.ρ(x，y)≥0且ρ(x，y)=0⇔x=y;

2.ρ(x，y)=ρ(y，x);

3.(三角不等式)ρ(x，y)≤ρ(x，z)+ρ(y，z);

則稱ρ(x，y)為兩點x，y之間的距離，R按距離ρ成為度量空間或距離空間，記為(R，ρ).設A是R的子集，則A按R中的距離ρ也成為度量空間，稱為R的(度量)子空間.如果把上述距離的條件1改為ρ(x，y)≥0且ρ(x，x)=0，則稱ρ為R上的擬距離.當ρ(x，y)=0時，記x～y.～是R上的一個等價關係，記商集(即等價類全體)為D=R/～，在D上作二元函式ρ～：ρ～(x～，y～)=ρ(x，y)(x∈x～，y∈y～)，則ρ～是D上的距離，而(D，ρ～)稱為R按擬距離ρ導出的商(度量)空間.

度量空間(R，ρ)中的子集A稱為有界的，如果對x₀∈R，存在常數M，使ρ(x₀，x)≤M對A中的一切x成立.設x₀∈R，r>0，則稱集合{x|x∈R，ρ(x，x₀)<r}為以x₀為中心，r為半徑的開球，或x₀的r鄰域，記為O(x₀，r).又設A⊂R，若對任何x∈A，存在x的某個鄰域O(x，r)⊂A，則A稱為開集;而稱開集的補集為閉集.R中包含子集A的最小閉集就稱為A的閉包。

度量空間是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)於1906年引進的，它是現代數學中的一種基本而重要並且非常接近於歐幾里得空間的抽象空間，也是泛函分析的基礎之一。