距離空間

設X是非空集合，對於X中任意的兩個元素x與y，按某一法則都對應唯一的實數d(x，y)，而且滿足下述三條公理：

(1)(非負性)d(x，y)≥0[d(x，y)=0，若且唯若x=y]；

(2)(對稱性)d(x，y)=d(y，x)；

(3)(三角不等式)對於任意的x，y，z∈X，恆有d(x，y)≤d(x，z)+d(z，y)。

則稱d(x，y)為x與y的距離，並稱X是以d為距離的距離空間，記作(X，d)。通常，在距離已被定義的情況下，(X，d)可以簡單地將X中的元素稱為X中的點。

基本介紹

• 中文名：距離空間
• 外文名：metric space
• 所屬學科：數學
• 所屬領域：泛函分析
• 別名：度量空間
• 性質：是一種拓撲空間

定義

設X是非空集合，對於X中任意的兩個元素x與y，按某一法則都對應唯一的實數d(x，y)，而且滿足下述三條公理：

(1)(非負性)d(x，y)≥0，[d(x，y)=0，若且唯若x=y]；

(2)(對稱性)d(x，y)=d(y，x)；

(3)(三角不等式)對於任意的x，y，z∈X，恆有d(x，y)≤d(x，z)+d(z，y)。

則稱d(x，y)為x與y的距離，並稱X是以d為距離的距離空間，記作(X，d)。通常，在距離已被定義的情況下，(X，d)可以簡單地將X中的元素稱為X中的點。

點集

這裡用抽象的距離 代替R中的絕對值 ，用開球 代替R中的對稱開區間 。

設(X，d)為距離空間，則可依次定義概念：

開球

設 稱X中的點集

是以 為中心，以 為半徑的開球；又稱為 的 鄰域。

閉球

設 稱

是以 為中心，以 為半徑的閉球。

球面

設 稱

是以 點為中心，以 為半徑的球面。

內點

設 若存在 的 鄰域 則稱點 為E的內點，E的內點全體稱為E的內部記為E。

開集

設 若G中每一點都是其內點，則稱G為開集。

閉集

設 若 為開集，則稱F為閉集。

鄰域

包含 的任一開集均稱為 的一個鄰域，特別稱 是 的球形鄰域，有時也簡稱鄰域。

聚點

設 若 的每一個鄰域中均含有E的無窮多個點，則稱 為E的聚點或極限點，E的聚點可以在E中也可不在E中， 為E的聚點可等價定義為： 的每個鄰域中含有E的點x，但 。

導集

E的聚點的全體稱為E的導集，記為。

閉包

設 的閉包 定義為 中的點又稱為E的接觸點。可以知道 的充要條件是 因此E的閉包 又可定義為與E的距離為0的一切點的全體，E的聚點(極限點)必是E的接觸點，反之則不然。

孤立點

、邊界、有界集、直徑

若用 不含在E中的E的聚點集合，則有

(其中 ).

設 若 的某一鄰域中沒有除 以外的E的其他點，則稱 為E的孤立點。稱 為E的邊界；設 若則稱E為有界集；稱 為E的直徑，如果 的直徑 ，則E是有界集。