按度量收斂

簡介

按度量收斂是由距離刻畫的收斂。

設(R,p)是度量空間，點列

，如果存在x₀∈R，使當n→∞時，p(x_n,x₀)→0，就稱{x_n}按距離ρ收斂於x₀，記為

或x→x₀(n→∞)，並稱{x_n}為收斂點列，x₀為{x_n}的極限。

度量空間中收斂點列的極限是惟一的。

設R是一個非空集合，ρ(x，y)是R上的二元函式，滿足如下條件：

1.ρ(x,y)≥0且ρ(x,y)=0⇔x=y;

2.ρ(x,y)=ρ(y,x);

3.（三角不等式）ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ρ(y,z)，則稱ρ(x,y)為兩點x，y之間的距離。

度量空間(Metric Space)，在數學中是指一個集合，並且該集合中的任意元素之間的距離是可定義的，亦稱距離空間。一類特殊的拓撲空間。弗雷歇(Fréchet，M.-R.)將歐幾里得空間的距離概念抽象化，於1906年定義了度量空間。

在度量空間中，緊性、可數緊性、序列緊性、子集緊性是一致的。可分性、遺傳可分性、第二可數性、林德勒夫性是一致的。度量空間必滿足第一可數公理，是豪斯多夫空間，完全正規空間，仿緊空間。偽度量空間滿足第一可數公理，但一般不是豪斯多夫空間。