巴拿赫矢量叢

巴拿赫向量叢是每點處的纖維均拓撲線性同構於某巴拿赫空間且局部平凡的叢。

基本介紹

• 中文名：巴拿赫矢量叢
• 外文名：Banach vector bundle
• 適用範圍：數理科學

簡介

巴拿赫向量叢是每點處的纖維均拓撲線性同構於某巴拿赫空間且局部平凡的叢。

一個叢指的是三元組ξ=(G,π,B)，其中G和B是拓撲空間，π:G→B是連續滿映射。G和B分別稱為叢ξ的全空間與底空間，π稱為投影。對每點b∈B，π^-1(b)稱為叢ξ在點b的纖維，記為G_b。設ξ=(G,π,B)是一個叢，稱叢ξ=(G,π,B)為巴拿赫向量叢。

性質

若存在B的一個開覆蓋{U_α|α∈∧}，且對每個α∈∧，對應有某個巴拿赫空間Y_α及連續映射τ_α:π^-1(U_α)→U_α×Y_α，使得:
1.τ_α是同胚，且P_ατ_α=π，其中P_α:U_α×Y_α→U_α為自然投影；
2.∀b∈U_α，導出映射τ_αb:π^-1(b)→Y_α是拓撲線性同構；
3.∀α,β∈A，當U_α∩U_β≠時，是從U_α∩U_β到B(Y_α→Y_β)的連續映射，其中B(Y_α→Y_β)為從Y_α到Y_β的有界線性運算元空間。

推廣

對於巴拿赫向量叢ξ=(G,π,B)，若B是連通的，則上述諸巴拿赫空間Y_α彼此拓撲線性同構，這時可將諸Y_α取作同一個巴拿赫空間Y。

當B為以E為模的連通的巴拿赫流形時，巴拿赫向量叢ξ=(G,π,B)的全空間G成為以E×Y為模的巴拿赫拓撲流形。進而，若B還是C^r流形，且上述條件3中所述的映射是C^r的，則G是C^r巴拿赫流形，這時稱ξ為C^r巴拿赫向量叢。