貝蒂數

在代數拓撲學中，拓撲空間之貝蒂數 是一族重要的不變數，取值為非負整數或無窮大。

基本介紹

• 中文名：貝蒂數
• 學科：代數拓撲學
• 領域：代數拓撲學
• 取值：非負整數或無窮大

介紹

在代數拓撲學中，拓撲空間之貝蒂數 是一族重要的不變數，取值為非負整數或無窮大。直觀地看，是連通成分之個數， 是沿著閉曲線剪開空間而保持連通的最大剪裁次數。更高次的可藉同調群定義。

“貝蒂數”一詞首先由龐加萊使用，以義大利數學家恩里科·貝蒂命名。

定義

空間 X的第k個貝蒂數（k為非負整數）定義為

上式的同調群可以任意域為係數。

例子

（1）圓環S¹的貝蒂數依次為。

（2）二維環面的貝蒂數依次為 。

（3）三維環面的貝蒂數依次為。

（4）一般而言，n維環面的貝蒂數由二項式係數給出，此命題可透過下節敘述的性質證明。

（5）無窮維空間可以有無窮多個非零的貝蒂數，例如無窮維復射影空間的貝蒂數依次為（周期為二）。

性質

閉曲面的第一個貝蒂數描述了曲面上的“洞”數。環面之 ；一般而言，閉曲面的等於“洞”或“把手”個數之兩倍。可定向緊閉曲面可由其完全分類。

有限單純復形或CW復形的貝蒂數有限。當 k 大於復形維度時，。

對於有限 CW 復形，定義其龐加萊多項式為貝蒂數的生成函式

對於任意 X,Y，有

對於n-維可定向閉流形X，龐加萊對偶定理給出貝蒂數的對稱性

貝蒂數與微分形式

在微分幾何及微分拓撲中，所論的空間 X通常是閉流形，此時拓撲不變數可以由源自流形微分結構的微分形式計算。具體言之，考慮復形

其中 表k次微分形式構成的向量空間，d為外微分。則

這是德拉姆上同調理論的簡單推論。

德拉姆上同調的不便之處，在於它考慮的是微分形式的等價類，其間可差一個 之元素。設流形X具有黎曼度量，則可以定義微分形式的“長度”。我們若嘗試以變分法在等價類中找最短元素，透過形式計算可知存在唯一最短元素，且為調和形式：，在此拉普拉斯運算元依賴於流形的度量，在局部座標系下可表為橢圓偏微分運算元。這套想法催生的霍奇理論在復幾何中扮演關鍵角色。