外微分

數學上，微分拓撲的外微分運算元，把一個函式的微分的概念推廣到更高階的微分形式的微分。它在流形上的積分理論中極為重要，並且是德拉姆和Alexander-Spanier上同調中所使用的微分運算元。其現代形式是由嘉當發明的。

基本介紹

• 中文名：外微分
• 外文名：exterior differentiation
• 別稱：微分形式
• 性質：反對稱協變張量場
• 套用學科：數學
• 套用領域：微分拓撲

定義

一個k階的微分形式的外微分是一個k+1階的微分形式。對於一個k-形式ω =f_Idx_I在R上，其定義如下：

對於一般的k-形式 Σ_If_Idx_I（其中多重指標I取遍所有{1, ...,n}的基數為k的有序子集），我們只作了線性推廣。注意如果上面有i=I則 。

性質

外微分滿足三個重要性質：

（1）線性

（2）楔積法則

（3）d= 0，蘊涵了混合偏導數的恆等式的公式，所以總有

可以證明外微分由這些性質和其與 0-形式（函式）上的微分的一致性唯一決定。d的核由閉形式組成，而其像由恰當形式組成 。

坐標不變公式

給定一個k-形式ω和任意光滑向量場V₀,V₁, …, V_k我們有

其中 表示李括弧，而帽子記號表示省略該元素:

特別的有，對於1-形式，我們有：

更一般的，李導數由李括弧定義：

而一般微分形式的李導數和外微分密切相關。區別主要是記號上的。

微積分中

下面的對應關係揭示了向量微積分的諸多公式實際上只是上述外微分的三個法則的特殊情況而已。

梯度

對於一個0-形式，也就是一個光滑函式f:R→R，我們有

所以，對於向量場V

其中grad f代表f的梯度而<·, ·>是標量積。

旋度

對於一個1-形式 在R上，

它限制到三維情況 就是

因此，對於向量場U, V=[u,v,w]和W我們有 其中curl V代表V的旋度×是向量積，而<·, ·>是標量積。

散度

對於一個2-形式

對於三維，若 我們得到

其中V是一個向量場定義為V=[p,q,r].

範例

對於1-形式 onR我們有

這剛好就是在格林定理中被積分的2-形式。

向量微積分的恆等式：

與

皆是外微分第三性質—— 的特例。

參看

• 外共變導數
• 格林定理
• 斯托克斯定理