基本介紹
- 中文名:李導數
- 外文名:Lie derivative
- 領域:數理科學
- 人物:索甫斯·李
簡介,定義,性質,和外導數的關係、微分形式的李導數,張量場的李導數,
簡介
定義
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然後定義向量場Y的李導數等於X和Y的李導數,也就是,
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根據上面任選的一個定義,其他的定義可被證明為其等價形式。 例如,可以證明,對於一個可微函式f,
並且
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我們用在1-形式
上的李導數的定義來結叢本節:
.
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性質
類似的,它是
上的一個導數,其中
是M上的向量場的集合:
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也可寫為等價形式
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其中張量積符號
用於強調函式和向量場的積在整個流形上取。另外的性質和李括弧的一致。所以,例如,作為向量場的導數,
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和外導數的關係、微分形式的李導數
令M為一個流形,X為M上一個向量場。令
為一k+1-形式。X和ω的內積為
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注意,
是
-反導數。也就是,是R-線性的,並且
。
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對於
和另一個微分形式η成立。另外,對於一個函式
,那是一個實或復值 的M上的函式,有
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外導數和李導數的關係可以總結為以下這些。對於一般函式f,李導數就是外導數和向量場的內積:
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當ω為1-形式,上述恆等式經常寫作
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導數的乘積是可分配的
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張量場的李導數
在微分幾何中,如果我們有一個
階可微張量場(我們可以把它當作餘切叢
的光滑截面
和切叢
的截面
的線性映射
),使得對於任何函式
有
而且如果進一步有一個可微向量場(也就是切叢的一個光滑截面)
,則線性映射
獨立於聯絡∇;只要它是無撓率的,事實上,這個映射是一個張量。這個張量稱為
關於
的李導數。
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換句話說,如果你有一個張量場
和一個由向量場
給出的微分同胚的無窮小生成元,則
就是
在這個無窮小微分同胚下的無窮小變化。
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