張量積

在數學中，張量積(tensor product) ，可以套用於不同的上下文中如向量、矩陣、張量、向量空間、代數、拓撲向量空間和模。在各種情況下這個符號的意義是同樣的：最一般的雙線性運算。在某些上下文中也叫做外積。

基本介紹

• 中文名：張量積
• 外文名：tensor product
• 運用範圍：數學
• 向量空間範疇：對象之間的同態都是線性映射
• 套用學科：數學
• 符號意義：最一般的線性運算

多種張量積

（1）兩個張量的張量積

有兩個（或更多）張量積的分量的一般公式。例如，如果U和V是秩分別為n和m的兩個協變張量，則它們的張量積的分量給出為：

所以兩個張量的張量積的分量是每個張量的分量的普通積。

注意在張量積中，因子U消耗第一個 rank(U) 指標，而因子V消耗下一個 rank(V) 指標，所以

例子：

設U是類型 (1,1) 的張量，帶有分量U_β；並設V是類型 (1,0) 的張量，帶有分量V。則 而 。

張量積繼承它的因子的所有指標。

（2）多重線性映射的張量積

給定多重線性映射和 它們的張量積是多重線性函式 。

（3）向量空間的張量積

在域K上的兩個向量空間V和W的張量積 有通過“生成元和關係”的方法的形式定義。在這些 的關係下的等價類被叫做“張量”並指示為 。通過構造，可以證明在張量之間的多個恆等式並形成張量的代數。

要構造 ，採用在 K之上帶有基 的向量空間，並套用(因子化所生成的子空間)下列多線性關係:

（1）

（2）

（3）

這裡的 是來自適當空間的向量，而c來自底層域K。

我們可以推出恆等式 ，零在 中。

結果的張量積 自身是向量空間，它可以直接通過向量空間公理來驗證。分別給定V和W基 和 ，形如 的張量形成 的基。張量積的維數因此是最初空間維數的積；例如 有維數mn。

（4）希爾伯特空間的張量積

兩個希爾伯特空間的張量積是另一個希爾伯特空間，其定義如下。

定義

設 和 是兩個希爾伯特空間，分別帶有內積 和 。構造H₁和H₂的張量積 如下：

考慮他們的作為線性空間的張量積 。和上的內積自然地擴展到H上：

由內積的雙線性（Bilinearity），只需定義

其中和即可。

現在H是一未必完備的內積空間。將H完備化，得到希爾伯特空間，這就是H₁和H₂作為希爾伯特空間的張量積。在希爾伯特空間的範疇中，具有如前所述的泛性質，即它是二者在該範疇內的乘積。

性質

如果H₁和H₂分別有正交基{φ_k} 和 {ψ_l}，則 {φ_k⊗ψ_l} 是H₁⊗H₂的正交基。

（5）兩個向量空間的張量積

在向量空間範疇，對象之間的同態都是線性映射。但其實我們經常會碰到 “雙線性映射” 這種概念，比如內積就是一個雙線性映射 V x V --> C. 我們希望把 “雙線性” 這種性質歸於向量空間範疇。一個辦法就是，構造一個跟 V, W 有關的向量空間 Z，使得所有定義在 V x W 上的 “雙線性映射” 都可以由 “唯一” 一個定義在 Z 上的 “線性映射” 來代替。這個 Z 就叫 V 和 W 的張量積。

泛性質

張量積可以用泛性質來刻畫。考慮通過雙線性映射φ把笛卡爾積V×W嵌入到向量空間X的問題。張量積構造V⊗W與給出自

的自然嵌入映射φ:V×W→V⊗W一起是這個問題在如下意義上的“泛”解。對於任何其他這種對 (X,ψ)，這裡的X是向量空間，而 ψ 是雙線性映射V×W→X，則存在一個唯一的線性映射使得。

假定這個泛性質，張量積在同構意義下的惟一性是容易驗證的。

直接推論是從V×W到X的雙線性映射和線性映射的同一性。它是ψ到T的自然同構映射。

擴展

與對偶空間的關係

在泛性質的討論中，替代X為V和W的底層標量域生成空間的對偶空間，包含在那個空間上的所有線性泛函)，它自然的同一於在上所有雙線性函式的空間。換句或說，所有雙線性泛函是在張量積上的泛函，反之亦然。

只要V和W是有限維的，在和之間有一個自然的同構，而對於任意維的向量空間我們只有一個包含。所以線性泛函的張量是雙線性泛函。這給我們一種新看法，把雙線性泛函看做張量積自身。

套用發展

後來的發展表明，“張量積” 可以擴展到一般範疇。凡是在範疇中多個對象得到一個對象，並滿足一定結合規則和交換規則的操作都可以視為 “張量積”，比如集合的笛卡兒積，無交並，拓撲空間的乘積，等等，都可以被稱為張量積。帶有張量積操作的範疇叫做 “張量範疇”。張量範疇現在被視為量子不變數理論的形式化，從而應該同量子場論，弦論都有深刻的聯繫。

示例

結果的秩為1，結果的維數為 4×3 = 12。

這裡的秩指示張量秩（所需指標數），而維數計算在結果數組(陣列)中自由度的數目；矩陣的秩是 1。

代表情況是任何兩個被當作矩陣的矩形數組的克羅內克積。在同維數的兩個向量之間的張量積的特殊情況是並矢積。