線性運算

線性運算是加法和數量乘法， 在實數領域像只包含加法和數量乘法二元一次方程就屬於線性運算，如y=3x+5。如果是矩陣的加法和數乘運算，就稱為矩陣的線性運算；如果是向量的加法和數乘運算，統稱為向量的線性運算。對於不同線性運算一般有不同的形式，它們滿足交換律、結合律、分配律等。

基本介紹

• 中文名：線性運算
• 外文名：linear operation
• 特點：加法和數量乘法
• 舉例：矩陣的線性運算、向量的線性運算

矩陣的線性運算

矩陣的加法和數乘運算，統稱為矩陣的線性運算。

矩陣加減法

定義 設

是兩個 型矩陣，則矩陣

稱為 和 的和，記為

矩陣的加法就是矩陣對應元素相加，當然，相加的矩陣必須要有相同的行數和列數，即只有同型矩陣方可相加。

由於矩陣加法歸結為它們元素的加法，即數的加法，故不難驗證矩陣加法滿足：

(1)結合律：

(2)交換律：

明顯地，對零矩陣，有 。

定義2 矩陣

稱為矩陣 的負矩陣，記為。

顯然，有 一0，從而可定義矩陣減法為

我們可以將負矩陣 看做是實數一1和矩陣 相乘所得，從而抽象出一般數和矩陣的數量乘法。

矩陣數量乘積

定義 矩陣

稱為矩陣 與數 的數量乘積，記為。換句話說，用數 乘以矩陣 ，就是把矩陣的每個元素都乘上 。

不難驗證。數量乘積滿足下列運算規律：

(1) (結合律)；

(2) ；

(3) 。

向量的線性運算

向量的加法和數乘運算，統稱為向量的線性運算。

向量的加減法

設n維向量 ， ，規定向量 與 的和為

規定向量 與 的差為

向量的數乘

設n維向量 ，各分量乘以數k所構成的向量，稱為數k與向量的數量乘積，簡稱數乘，記做 ，即

容易驗證得到：

(1 ) （加法交換律）；

(2) （加法結合律）；

(3) ；

(4) ；

(5) （數乘分配律）；

(6) （數乘分配律）；

(7) （數乘結合律）；

(8) 。

上述定義與性質是針對行向量而言的，當與為列向量時，有類似結論。