微分幾何法

微分幾何法是用分析方法來研究空間(微分流形)幾何性質的方法。對其初期發展作出重要貢獻的，當推瑞士數學家歐拉(L. Euler)和法國數學家蒙日(G.Monge)，當時主要研究對象是三維歐氏空間的曲線和曲面在一點鄰近的性質。1827年德國數學家高斯(C.Gauss)發表《曲面的一般研究》，抓住了曲面上曲線的長度、兩曲線的夾角、區域的面積、測地線、總曲率等只依賴第一基本形式的內在性質。1854年德國數學家黎曼首先提出了n維流形的概念，定義了流形上的黎曼度量，開創了以種種非歐幾何為特例的黎曼幾何。1869年克里斯托費爾與李普希茨解決了微分形式的等價性問題，1887～1896年間G.里奇發展了張量分析方法。黎曼幾何之大受重視，由於愛因斯坦的廣義相對論，愛因斯坦把引力現象解釋成黎曼空間的曲率性質，從而物理現象變成了幾何現象。

1872年F.克萊因闡述了“埃爾朗根綱領”，把幾何學定義為一個變換群下的不變性質，從而推動了射影微分幾何、仿射微分幾何、共形微分幾何的建立。經過E.嘉當的努力，使李群成為微分幾何的工具，李群也成為微分幾何的研究對象，他的廣義空間把連絡作為主要的幾何觀念，他建立的外微分和他在李群的工作，是近代微分幾何的兩大柱石。現代微分幾何所研究的對象是配有附加結構的微分流形，流形研究的主要對象是經過坐標變換而保持不變的性質，如切矢量、微分式等。纖維叢理論的發展把幾何學的群的結構和流形的微分結構有機地結合起來。陳省身對整體微分幾何的發展做出了重要貢獻。他用代數的方法通過聯絡和曲率作出了底流形的一些上同調類，包括陳示性類等。近代微分幾何的發展，需要運用更深入的更現代化的分析工具，特別是偏微分方程理論以及與之有關的非線性分析，丘成桐在這方面解決了一系列的問題，微分幾何法也成為理論物理學家的有力工具，楊振寧和米爾斯所提出的規範場理論是物理學中形成的纖維叢上的聯絡論。我國的谷超豪、胡和生等也做出了系統的成果。