微分形式

微分形式(differential form)是多變數微積分，微分拓撲和張量分析領域的一個數學概念。現代意義上的微分形式，及其以楔積和外微分結構形成外代數的想法，都是由著名法國數學家埃里·卡當(Elie Cartan)引入的。

微分流形M上外形式叢的一個光滑截面.設ω：M→Λ(TM*)，若對於外形式叢的叢射影π，滿足π°ω=id，則稱ω為M上的微分形式.

基本介紹

• 中文名：微分形式
• 外文名：differential form
• 性質：多變數微積分
• 提出者：埃里·卡當
• 適用範圍：數理科學

定義

微分流形M上外形式叢的一個光滑截面.設ω：M→Λ(TM)，若對於外形式叢的叢射影π，滿足π°ω=id，則稱ω為M上的微分形式.

r次外形式叢的光滑截面稱為r次微分形式，簡稱r形式.微分r形式全體構成的空間記為E(M)，E(M)是C(M)模.因此，M上微分r形式是光滑的反對稱r階協變張量場.微分形式全體構成的空間為

設β∈E(M)，(U，y₁，…，y_n)為M上某點處的區圖，則微分k形式β局部地可表示為

其中b_i1…ik是U上的C函式.

E(M)關於外積有一個代數結構，設ω，φ∈E(M)，c為常數，可以定義ω+φ，cω，ω∧φ，f∧ω(f是0形式)，從而使E(M)在外積之下構成一個分次代數.

微分形式是微分幾何學中最基本的概念。 我們首先以n維歐氏空間Rⁿ為例， 來解釋微分形式。 設 是歐氏空間坐標。 在這個空間中， 我們有自然的度量， 即歐幾里得度量, 它的微分表達式為

。 這裡 是傳統的一階微分。而 指的是 和它自己的在域R上的張量積。類似地，ds是無窮小向量dr的模長，而 是ds和自己在域R上的張量積。

把 作為基向量，其中，p為 中的一個點，以實常數為係數，可以生成域R上的一個n維的向量空間， 稱為 在點p的餘切空間，線上性同構的意義下，它就是 自己而已；而如果把係數由常數換成點p所在的開鄰域上的實值函式，則上述的n個基向量可以生成函式環上的一個n秩的模，叫做一階外微分形式模。在代數幾何中，這個模是很常用的。

另一方面， 對一個n維向量空間V, 假設 是基向量. 我們可以定義r次外積空間, 這個空間由以下形式的外積（有時也稱楔積）作為基元素生成： , 這裡 。

今取 , 則 中的元素稱為r次微分形式， 它可以寫成基元素 的線性組合。 這裡每個基元素前的係數可以視作坐標 的函式。

微分形式的概念也可以從歐氏空間推廣到微分流形上。所有微分形式放在一起構成一個外代數。

性質

微分形式的一個優點就是能做外微分 運算。 比如 是一個r次微分形式， 那么 。這就把一個r次微分形式映到了r+1次微分形式。換言之，我們有映射d: → . 這個映射稱為外微分。

易知兩次外微分的複合等於零， 即dd=0，即poincare（龐加萊）引理. 一個微分形式ω如果滿足dω=0, 我們就稱其為閉形式。 如果存在另一微分形式γ, 使得ω=dγ， 我們就稱其為恰當形式。 利用dd=0這一條件，我們就得到所謂的DeRham復形， 由這個復形，就導出了所謂的DeRham上同調， 它就是閉形式生成的向量空間商掉恰當形式以後得到的商空間。

此外， 外微分運算還滿足牛頓-萊布尼茲公式， 即對區域邊界某外微分的積分等於對區域內該外微分的微分的積分。是高斯公式，斯托克斯公式的概括和總結，是單變數微積分中牛頓-萊布尼茲公式在多變數中的推廣。

斯托克斯定理

利用外微分和積分運算， 我們可以得到著名的斯托克斯定理。 它是說一個恰當形式ω=dγ在定義域M上的積分，就等於γ在M的邊界上的積分。這個定理有很多特殊情況， 都是經典微積分理論中的重要公式， 比如牛頓萊布尼茲公式， 高斯公式， 格林公式 等等。

斯托克斯定理表明， 外微分運算元d和拓撲圖形的邊緣運算元是相伴的。 這暗示了微分分析和拓撲學之間的微妙聯繫。

例子

取平面上的一階微分ω=Pdx+Qdy. 那么, 這裡是Q關於x的偏導數，其餘類似。

此時的斯托克斯公式就是格林公式， 即線積分可以轉化為面積分。