商空間

在線性代數中，一個向量空間V被一個子空間N的商是將N“坍塌”為零得到的向量空間，所得的空間稱為商空間（quotient space），記作V/N（讀作V模N）。

基本介紹

• 中文名：商空間
• 外文名：quotient space
• 領域：數學
• 性質：反身性，對稱性，傳遞性
• 公式：V/N

定義

設V是域K上的一個向量空間，且N是V的一個子空間。我們定義在V上定義一個等價類，如果 則令 。即如果其中一個加上 中一個元素得到另一個，則與 相關。 的所在等價類通常記作

因為它由 給出。那么商空間 定義為 / ，V在 下所有等價類集合。等價類上的數乘與加法定義為：

1) 對所有 ， ，

2) 。

不難驗證這些運算是良定義的（即與代表元之選取無關）。這些運算將商空間 轉化為K上一個向量空間，成為零類。相對應的，商映射即定義為 與等價類 之映射

性質

（1）反身性：

（2）對稱性： 若 則

（3）傳遞性： 若 則

性質推廣

令 為標準笛卡兒平面， 是 中過原點的一條直線。則商空間 可與X中與Y平行的所有直線等價。這就是講，集合 的元素是X中平行於Y的元素。這給出了以一種幾何的方式看商空間的方法。

另一個例子是 被前 個標準基向量張成的子空間的商。空間R有所有實數 元組 組成。子空間，與 等價，由只有前 元素是非零 的所有 元組組成。的兩個向量在模去這個子空間的同一個共軛類中若且唯若他們的後 個坐標相等。商空間 / 顯然地同構於 。

更一般地，如果V寫成子空間U與W的一個（內部）直和：

則商空間 自然同構於 。

如果U是V的一個子空間，U在V中的余維數定義為V/U的維數。如果V是有限維的，這就是V與U的維數之差：

從 到商空間 有一個自然滿射，將x送到它的等價類 。這個滿射的核（或零空間）是子空間 。此關係簡單地總結為短正合序列：

令 是一個線性運算元，T的核，記作 ，是所有 使得 的集合。核是 的一個子空間。線性代數第一同構定理說商空間V/ker(T)同構於 在 中的像。一個直接推論，對有限維空間的秩-零化度定理：V的維數等於核的維數（ 的零化度）加上像的維數（ 的秩）。

線性運算元 的余核定義為商空間 。

商空間

定義

如果X是一個巴拿赫空間而M是X的一個閉子空間，則商X/M仍是一個巴拿赫空間。上一節已經給出商空間一個向量空間結構。我們定義X/M上一個範數為

商空間X/M關於此範數是完備的，所以是一個巴拿赫空間。

例子

令 表示區間[0,1]上連續實值函式的巴拿赫空間。記所有函式 使得 的子空間為M。則某個函式 的等價類由它在0點的值決定，商空間C[0,1]/M同構於R。

如果X是一個希爾伯特空間，則商空間X/M同構於M的正交補。

局部凸空間

局部凸空間被一個閉子空間商還是局部凸的。事實上，假設是局部凸的所以 上的拓撲由一族半範數 生成，這裡 是一個指標集。設 是一個閉子空間，定義 上半範數

則 是一個局部凸空間，上面的拓撲是商拓撲。

進一步，若X是可度量化的，則 也是；如果X是弗雷歇空間， 也是。