商映射

商映射

商映射(quotient mapping),是一類連續映射

設R為集合E中的等價關係,f為從E到集合F中的與R相容的映射。從E/R到F中使x的類對應f(x)的映射g叫做通過對R求商從f導出的映射。設S為F中的等價關係,如果f與R及S是相容的,則從E/R到F/S中使x的類對應f(x)的類的映射叫做通過對R與S求商從f導出的映射。

基本介紹

  • 中文名:商映射
  • 外文名:quotient mapping
  • 所屬學科:數學
  • 性質:一種連續映射
定義,相關定理,常用命題,舉例,

定義

設X,Y是兩個拓撲空間,映射
稱為商映射,如果它是連續的滿映射,並且對每個
,若
是X的開集,則B是Y的開集
實際上容易看出,商映射即是滿足下列兩個(等價的)條件之一的滿映射
(1)
是開集
是X的開集;
(2)
是閉集
是X的閉集

相關定理

定理 1
是商映射,則
連續
連續。
證明:
:顯然成立。
:設
連續,對Z中任一開集V,
是X中開集,由於
是商映射,故
是Y中開集,可見
是連續的。
定理 設
是一個映射,
表示自然映射。則
圖一圖一
(1)存在唯一的映射
使得
,且
是單射,即圖一可交換,
的誘導映射;
(2)
是滿射
滿射
(3)
連續
連續。
定理2 沒X,Y是兩個拓撲空間,~和~’分別為X和Y上的等價關係,
是一個連續映射,且保持關係,即
,則存在一個連續映射
使得圖二是個交換圖(其中
均表示自然映射),並且當
是商映射時,
也是商映射。
定理3 (J.H.C.Whitehead 1948) 設
是商映射,Z是一個局部緊緻的Hausdorff空間,
表示恆同映射,則
也是商映射。
圖二圖二
定理4
是商映射,並且X是局部連通的,則Y也是局部連通的。

常用命題

關於商映射,有如下一些基本而常用的命題。
命題1 開的(或閉的)連續滿映射
是商映射。
但是這個命題的逆命題並不成立。
命題2 如果X是緊緻的,Y是
空間,則連續滿映射
是商映射。
證明 只需證明f是閉映射即可,對於x中任一閉子集F,由於X是緊空間,故F是緊子集,從而f(F)是Y的緊子集,由於Y是
空間,故f(F)是閉的,因此f是閉映射。
命題3 商映射的複合映射仍然是商映射。
命題4
是商映射.則商空間
與Y同胚。

舉例

例1 在由正方形粘出圓柱面,環面
,
帶,Klein瓶及射影平面的例子中,對應的粘合映射就是相應的商映射。
例2 將三角形兩邊同向地粘接得到什麼空問?
通過圖三,四可以看出,適當改變粘合順序,我們可知所得也是
帶:先沿b剪開,再粘合a,最後粘合b,即得到
帶。
圖三圖三
圖四圖四

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