基本介紹
定義,發現歷程,性質,對稱性,單峰性,二項式係數的和,二項式定理,排列與組合,
定義
二項式係數對組合數學很重要,因它的意義是從n件物件中,不分先後地選取k件的方法總數,因此也叫做組合數。從定義出發,把n個(1+x)項的乘積展開,其中任意k項的x和n−k項的1相乘得出一個x,故此x的係數是從n個選取k個的方法總數。把各項的x標記可以更清楚看出:當n=4, k=2時,
![](/img/f/0a9/9e9b29081706978d0c1e5bd3d6ea.jpg)
二項式係數是楊輝三角的第n+1行從左起第k+1個數,它最先由楊輝發現。
二項式係數符合等式可以由其公式證出,也可以從其在組合數學的意義推導出來。如第一式左項表示從n+1件選取k件的方法數,這些方法可分為沒有選取第n+1件,即是從其餘n件選取k件;和有選取第n+1件,即是從其餘n件選取k−1件。而第二式則是每個從n件選取k件的方法,也可看為選取其餘n−k件的方法。
發現歷程
二項式係數表為在我國被稱為賈憲三角或楊輝三角,一般認為是北宋數學家賈憲所首創。它記載於楊輝的《詳解九章算法》(1261)之中。在阿拉伯數學家卡西的著作《算術之鑰》(1427)中也給出了一個二項式定理係數表,他所用的計算方法與賈憲的完全相同。
楊輝三角形
![楊輝三角形 楊輝三角形](/img/5/8d3/nBnauMGNhZmNkdDOihTMhFDMjhjN1AjN5UWOiNzNlJDZlFGN0IWYkF2N3MzLtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
在歐洲,德國數學家阿皮安努斯在他1527年出版的算術書的封面上刻有此圖。但一般卻稱之為帕斯卡三角形,因為帕斯卡在1654年也發現了這個結果。無論如何,二項式定理的發現,在我國比在歐洲至少要早300年。 1665年,牛頓把二項式定理推廣到n為分數與負數的情形,給出了展開式。 二項式定理在組合理論、開高次方、高階等差數列求和,以及差分法中有廣泛的套用。
性質
對稱性
與首末兩段“等距離”的兩個二項式係數相等。即
。
![](/img/2/b60/641e980bf719be86ecf94a7d33e3.jpg)
單峰性
![](/img/7/4cf/3ebc2e47fa0226abe3a0e3e5ebf3.jpg)
(1)當n為偶數時,中間一項的二項式係數
取得最大值。
![](/img/6/99d/4c50c4ee569673f6aa074df48573.jpg)
(2)當n為奇數時,中間兩項的二項式係數
相等且最大。
![](/img/a/37e/1b96c5c7d86bcd2b79ac5b3b5d37.jpg)
二項式係數的和
![](/img/b/5ec/6709b9e4c66b6d8b00a39559088e.jpg)