基本介紹
- 中文名：群同構
- 外文名：group isomorphism
- 領域：代數
- 對象：群
- 相關性質：同態
- 性質：任一雙同態是同構
同構,自同構,群,自同構群,圖的自同構群,
同構
兩個數學系統(例如兩個代數系統)，當它們的元素及各自所定義的運算一一對應，並且運算結果也保持一一對應，則稱這兩個系統同構，記為≌。它們對於所定義的運算，具有相同的結構。例如，十進制數與二進制數是同構的。
建立同構關係的映射，稱為同構映射。例如，當映射為一一映射，並且對應元素關於運算保持對應時，就是同構映射。
同構是數學中最重要的概念之一。在很多情況，一個難題往往可以化成另一個同構的、似乎與它不相關的、已經解決的問題，從而使原問題方便地得到解決。雖然數學發展得越來越複雜，但利用同構概念，不僅使數學得到簡化，而且使數學變得越來越統一。表面上似乎不同，但本質上等價的結果，可以用統一的形式表達出來。例如，如果四色定理得到了證明，其他數學分支中與它同構的幾十個假設，也同時得到了證明。
設G與G’是兩個群，如果有 一個由G到G’上的|-|映射σ，使經(ab)=σ(a)σ(b)對所有的a，b∈G都成立，么就說G同構於G’，記作G≅G’。適合以上條件的映射叫做同構映射(或簡稱同構)。群G到自身的同構叫做自同構。
自同構
設E為群胚，么半群，群，環，向量空間，代數或酉代數。從E到其自身上的同構稱為E的自同構。
賦以合成法則(f，g)↦g°f後，E的自同構集是一個群，自然地稱為E的自同構群，記為Aut(E).例如，設E為交換體K上的向量空間. E的同位相似是自同構，若且唯若它的比不為零. ——現假定E為有限維的。為使E的自同態是自同構，必須且只須它是單射，或是雙射。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
自同構群
一種特殊的群。指群自身的映射所構成的群。群G的所有自同構在映射的合成運算下構成的一個群，稱為群G的自同構群，常記為Aut(G)。
重要的幾何變換群。是幾何學分類的依據。設S是給定的空間，U是S上的一個圖形，若S到自身的一個變換g把U變到U自身，則稱g是關於U的自同構變換，簡稱關於U的自同構。S上關於U的自同構變換的全體構成一個變換群，稱它為關於U的自同構群。在變換中保持不變的這個圖形U稱為絕對形。例如，在射影平面上取一條直線作無窮遠直線，則在射影平面上保持無窮遠直線不變的自同構射影變換構成一個變換群，它是關於無窮遠直線的自同構群，同時它也是二維射影變換群的子群，即仿射變換群。
圖的自同構群
亦稱節點群。圖論中一類重要的群。它是圖G的所有自同構形成的群。自同構群為平凡群的圖稱為麼圖。柯尼希(Ko¨nig，D.)證明：任何一個有限抽象群同構於某個圖的自同構群。圖G的所有自同態形成一個半群，稱為圖G的自同態半群。任何一個有單位元的有限半群同構於某個圖的自同態半群。作用在圖G的邊集E上的自同構群稱為G的邊群，又稱線群。由各種圖的運算得來的複合圖的群用構成它的各個圖的群的複合表示出來，稱這種表示為複合圖的群。以下為常用的結果：
1.補圖的群：Γ(G-)=Γ(G).
2.同構不交並圖的群：Γ(nG)=Sn[Γ(G)].
3.不同構不交並圖的群：
Γ(G1∪G2)=Γ(G1)+Γ(G2).
4.不交並圖的群：
Γ(G1+G2)=Γ(G1)+Γ(G2)
的充分必要條件為G-1沒有連通片同構於G-2的連通片。
