同構映射

簡介

群的同態是一類重要的映射。群之間的的保持運算的一類映射。

設 f 是群 G 到群 G‘（不必異於G）的映射，若 f 保持運算，即對所有的

，總有 f(xy)=f(x)f(y)（或

），則稱 f 是群 G 到群 G’ 的同態映射，簡稱同態，若同態映射 f 還是一個雙射，則稱 f 為 G 到 G’ 的同構映射，記為

。這時稱群 G 和 G’同構，記為

。

特別地，若

時，則分別稱 f 為群 G 的自同態和自同構。

一個

與

間的一一映射

是一個對於代數運算

和

來說的

與

間的同構映射，簡稱同構，假如在

之下，不管a,b是A的哪兩個元，只要

，就有

。

常見的同構有：自同構，群同構，環同構，域同構，向量空間同構，其中自同構定義為：存在E和F兩個集合，且對於E、F各存在一種運算，我們記作（符號可更換）*和·，對於E、F，*、·分別封閉（即對於任意兩個集合內的元素，進行運算之後依然為該集合的元素，詳情見群論）。

我們說f是一個同構若且唯若f∈Γ（E,F）和f是一個雙射且對於E內的任意元素a，b都有f(a*b)=f(a)·f(b)。如果上面所描述的E、F為同一集合E，則說f是一個自同構。