模同構

模同構是一種特殊的模同態，假設f是模M到模N的同態，若f時一一的並且是映上的，則f為模M到模N的同構。兩個同構的模，從模的結構來看，它們沒有什麼區別。模同構具有一個性質，即若f為模M到模N的同態，則f的逆映射f^(-1)也是同構。廣義模同構是一種廣義模同態。

基本介紹

• 中文名：模同構
• 外文名：module isomorphism
• 基礎：模同態
• 推廣：廣義模同構
• 重點：三個模同構定理
• 套用學科：基礎代數

預備知識

模的同態映射

設M 和M' 均為R- 模。映射 為一個加法群同態，且滿足 ，那么我們稱映射 為M 到M' 的一個模同態。

如果N 為M 的一個子模，那么M 到M/N 的自然映射 為一個M 到M/N 的模同態映射。

模的分解定理

設映射 為M 到M' 的一個模同態（M,H 為兩個R -模）。則分解式 成立，知：

其中 為上式定義的 的由 導出的模同態， 為M 到M/N 的自然模同態。進一步，有：

（1） 為滿模同態若且唯若 為滿同態；

（2） 為單模同態若且唯若 ；

（3） 為模同構若且唯若為 滿同態，且 。

定義介紹

模同構（module isomorphism）是一種特殊的模同態，模M到N的同態f若是一一的並且是映上的，則稱f是M到N 的同構，這時稱M,N 是同構的模，記為M=N 。兩個同構的模，從模的結構來看，它們沒有什麼區別。若f 是同構，則f 的逆映射 也是同構。

廣義模同構是一種廣義模同態。設A,B 是k-代數，且 ，M 是A 上的模，N 是B 上的模，M 到N 的k-線性映射 如果滿足 ，則稱 為 到 的廣義模同態；特別的，如果 是雙射，則 稱為 到 的廣義模同構，記作 。

模的同構定理

模的第一同構定理

設 為模同態，且 ，那么 。

注意：在證明的過程中運用分解定理，同時需要注意 為到 上的一個滿同態映射。

模的第二同構定理

設S 和T 為模M 的兩個子模，記 。那么S+T 和S∩T 均為的M子模。進一步，有 。

證明：直接驗證不難知道，S+T 和S∩T 均為M 的子模。

定義映射 ，那么映射f 為模同態，其同態核kerf=S∩T ，它的同態像為 ，從而由第一同構定理知結論成立。

模的第三同構定理

設N≤L≤M （即N 為L 的子模，L 為M 的子模），那么 。

證明：定義映射 ，

則有： 。

再由第一同構定理知結論成立。

模的對應定理

定理1

設N 為一個R -模M 的一個子集，記 以及 ，即 為M 的所有包含N 的子模的集合， 為M/N 的所有子模的集合。則映射 為 到 的一個1-1對應。其逆映射 滿足 ，這裡 為M 到M/N 的自然模同態。

證明：我們知道，在群的情形下，群對應法則導致 （M 的所有包含N 的加法子群構成的集合）到 （ 的所有子群構成的集合）的一個1-1對應關係，記為φ。下面我們只需要證明上述對應法則滿足模對應關係，為此我們只需要證明 。這裡我們用 表示S 為T 的一個子群（但在不至於引起混淆的前提下，我們用“ ”代替“ ”），而用S≤T 表示S 為T 的一個子模。

假設 ，那么 ，因此存在 ，使得x+N=y+N 。從而x-y∈N≤S2 ，但由於 ，故 ，所以 。

定理2

如果R 是含麼交換環，I 和J是它的理想，則有R-模同構 。