基本介紹
- 中文名：模同態
- 外文名：module homomorphism
- 領域：數學
- 學科：模論
- 性質：映射
- 相關詞：群同態
概念,模,模論,同態,自然同態,
概念
模同態(module homomorphism)是模論的重要概念之一。指兩個模之間的一類映射。設M，N是兩個A模，f是加群M到N的群同態，若f還保持A到M，N上的運算，即對任意a∈A，f(ax)=af(x)，x∈M，則稱f是模同態，也稱A同態。常記為f∈HomA(M，N)或f∈Hom(M，N).任意兩個模M，N之間總存在模同態，例如，設f(x)=0，x∈M，通常稱此同態為零同態。若N是M的子模，映射π：x→x-=x+N是AM到AM-的模同態，則稱π為自然同態。模M，N之間的模同態集HomA(M，N)是一個加群，特別地，當M=N時，記：
End(AM)=HomA(M，N)，
它是一個環，稱為模M的自同態環。A是End(AM)的子環。
模
1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，
則稱A為M的運算元區，稱M為帶運算元區A的模，又稱為A上的模或A模.這時，由對應(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運算。任意a∈A可誘導出M的自同態aM：x→ax，而考慮交換群M能否成為A模就是看能否給出映射
μ： A→End(M)， a→aM.
特別地，考慮A是結合環，若滿足上述條件1的A模還滿足：
2.(a+b)x=ax+bx;
3.(ab)x=a(bx);
即映射μ：A→End(M)為環同態，則稱M為左A模或左環模。由於A到M上的運算是寫在左側，所以M就稱為左A模，記為AM。類似地，有右A模M，記為MA.若A有單位元1，且又滿足條件
4.1x=x (x∈M);
則稱M為酉模或麼模，以下設A模都是酉模。
模論
模論是抽象代數學的重要組成部分之一，主要研究環上的模。模的概念本質上是域上向量空間的直接推廣。早在19世紀，狄利克雷(Dirichlet，P.G.L.)就曾經考慮過多項式環上的模，20世紀20年代，諾特(Noether，E.)曾一再提出過模的重要作用。交換環上的模在代數幾何中有重要作用，非交換環特別是群環上的模就是群的線性表示，域上的模就是向量空間。到了20世紀40年代，由於環論的需要和同調代數的興起，模論得到了進一步發展。近30年來，已成為同調代數、群論、環論、代數K理論、範疇論等分支學科研究中不可缺少的工具，並在其他數學分支，如代數幾何、拓撲學、泛函分析甚至微分方程等領域裡得到了較廣泛的套用。現代模論已成為內容豐富、文獻浩繁的代數學的一個獨立分支。
同態
設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤。稱從E到F中的映射f是群胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：
設E與F為兩個么半群(兩個群)，稱從E到F中的映射。f是么半群(群)的同態，如果f是群胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素. (在群的情況下，後一個條件是自然滿足的，但是從加法么半群N到乘法么半群N的映射x↦0是群胚的同態， 而並不因此就是么半群的同態)。
設G為乘法群，而a為G的元素。由關係f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態。
設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法群的同態，且為乘法么半群的同態. 這就是說，對A的任一元素偶(x，y)，有：
f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，
並且f將A的單位元變成B的單位元。
例如，設n為非零自然數；使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法群胚(乘法么半群)的同態。
例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。
同態的概念能用抽象的方式加以推廣。
自然同態
Imf=G/N， ker f=N。
