余代數同態

余代數同態(coalgebra morphism)是代數同態的對偶概念。對偶是凸集幾何的一個重要概念。同態是模型論用語。指兩個模型間的同態映射。

余代數是代數的對偶概念。設C是R模，Δ是一個R線性映射C→CRC，被稱為余乘法或對角映射；ε是一個R線性映射C→R，稱為余單位元或增廣。

基本介紹

• 中文名：余代數同態
• 外文名：coalgebra morphism
• 領域：代數學
• 定義：代數同態的對偶概念
• 對偶：凸集幾何的一個重要概念
• 同態：兩個模型間的同態映射

概念介紹

余代數同態(coalgebra morphism)是代數同態的對偶概念。設(C，Δ_C，ε_C)和(D，Δ_D，ε_D)是R上的兩個余代數，f是C到D的R模同態，若下面兩個圖交換：

余代數同態

則稱f為(C，Δ_C，ε_C)到(D，Δ_D，ε_D)的余代數同態。

對偶

凸集幾何的一個重要概念。它是與凸集的配極和凸包絡有關的概念。若X是一個歐幾里得空間，取X中有限個點(a_i)_{i=1，2，…，n}，且Q=ε(a₁，a₂…，a_n)是(a_i)_{i=1，2，…，n}的凸包絡，則凸集Q(即Q的配極)是一個凸多面體。若還有O∈Q，則Q是一個多胞形，稱Q是Q的對偶。Cub_d的對偶是Coc_d;Coc_d的對偶是Cub_d。若Q是歐幾里得空間X中的一個多胞形O∈Q，則O∈Q，且Q亦為多胞形，稱Q是Q的對偶。由對偶方法可知：一個多胞形P的頂點個數是有限的，則P是它們的凸包絡.反過來，有限多個點的凸包絡是一個緊的凸多面體。

同態

設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤. 稱從E到F中的映射f是群胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：

設E與F為兩個么半群(兩個群)，稱從E到F中的映射。f是么半群(群)的同態，如果f是群胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素. (在群的情況下，後一個條件是自然滿足的，但是從加法么半群N到乘法么半群N的映射x↦0是群胚的同態， 而並不因此就是么半群的同態).

設G為乘法群，而a為G的元素. 由關係f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態.

設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法群的同態，且為乘法么半群的同態. 這就是說，對A的任一元素偶(x，y)，有：

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

並且f將A的單位元變成B的單位元.

例如，設n為非零自然數;使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態.設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數). 稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法群胚(乘法么半群)的同態.

例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基. 則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態.

同態的概念能用抽象的方式加以推廣.

余代數

代數的對偶概念。設C是R模，Δ是一個R線性映射C→C_RC，被稱為余乘法或對角映射；ε是一個R線性映射C→R，稱為余單位元或增廣。R上的余代數是指滿足以下二交換圖的三元組(C，Δ，ε)：

余代數

模同態

模同態是模論的重要概念之一。指兩個模之間的一類映射。設M，N是兩個A模，f是加群M到N的群同態，若f還保持A到M，N上的運算，即對任意a∈A，f(ax)=af(x)，x∈M，則稱f是模同態，也稱A同態.常記為f∈Hom_A(M，N)或f∈Hom(M，N)。任意兩個模M，N之間總存在模同態，例如，設f(x)=0，x∈M，通常稱此同態為零同態。若N是M的子模，映射π：x→x-=x+N是_AM到_AM-的模同態，則稱π為自然同態.模M，N之間的模同態集Hom_A(M，N)是一個加群，特別地，當M=N時，記

End(_AM)=Hom_A(M，N)，

它是一個環，稱為模M的自同態環.A是End(_AM)的子環。

其他同態及性質

雙代數同態

具有雙重同態性質的映射。設B和B′是R上的兩個雙代數，若一個B到B′的代數同態f同時又是余代數同態，則f稱為B到B′的一個雙代數同態。

霍普夫代數同態

滿足特定條件的雙代數同態。設(H，μ，η，Δ，ε，S)和(H′，μ′，η′，Δ′，ε′，S′)是R上的兩個霍普夫代數。若f是(H，μ，η，Δ，ε)到(H′，μ′，η′，Δ′，ε′)的一個雙代數同態，並且S′·f=f·S，則f稱為霍普夫代數同態。

非結合代數的同態基本定理

描述一般非結合代數同態像性質的重要定理。其敘述是：若A是域F上的一個非結合代數，B是A的一個理想，則商代數A/B是A在自然同態a→a+B，a∈A，a+B∈A/B下的同態像；反之，若A′是同態映射a→a′(a∈A，a′∈A′)的同態像，則A′同構於商代數A/B，其中B是同態映射的核。