套用近世代數

《套用近世代數》是2006年清華大學出版社出版的圖書，作者是王殿軍。本書介紹的內容現代數學的重要基礎，在計算機科學、信息科學、近代物理與近代化學等方面有廣泛的套用，是現代科學技術人員所必需的數學基礎。

基本介紹

• 書名：套用近世代數
• ISBN：9787302125662
• 頁數：222頁
• 出版社：清華大學出版社
• 出版時間：2006年7月1日
• 裝幀：平裝
• 開本：16開

內容簡介

《套用近世代數》介紹群、環、域的基本理論與套用。近世代數又名抽象代數。

作者簡介

王殿軍，男，漢族，1960年9月生於陝西。1982年1月在陝西師範大學數學系獲得理學學士學位。1997年7月在北京大學數學學院獲得博士學位。1997年8至1999年7月為清華大學數學系博士後。1999年8月至2006年12月為清華大學數學系副教授、教授，先後擔任過數學系研究生工作組組長、黨委副書記、黨委書記。2007年1月起任清華大學附屬中學校長。　王殿軍長期在大學的教學科研一線工作，主講過十餘門課程，其中北京市和清華大學的精品課程各一門，近五年所講授的主要課程教學評估均居清華大學前5%。完成了國家自然基金等各類科研項目近十項，發表學術論文30餘篇，改編和編著出版書籍各兩部，指導博士後2名、博士生1名、碩士生5名。曾榮獲清華大學優秀輔導員“林楓獎”、清華大學優秀教學成果獎、清華大學青年教師教學優秀獎、北京市優秀教學成果獎以及“北京市教育創新標兵”、“北京市優秀教師”等榮譽稱號。

圖書目錄

第1章引言和預備知識1

1.1幾類實際問題1

1. 一些計數問題1

2. 數字通信的可靠性問題與保密性問題5

3. 幾何作圖問題7

4. 代數方程根式求解問題8

習題1.1 8

1.2集合與映射9

1. 集合的記號9

2. 子集與冪集9

3. 子集的運算10

4. 包含與排斥原理10

5. 映射的概念12

6. 映射的分類13

7. 映射的複合15

8. 映射的逆16

習題1.2 17

1.3二元關係18

1. 二元運算與代數系統18

2. 二元關係19

3. 等價關係、等價類和商集19

4. 偏序和全序22

習題1.3 24

1.4整數與同餘方程24

1. 整數的運算25

2. 最大公因子和最低公倍數25

3. 互素29

4. 同餘方程及孫子定理29

習題1.4 34

第1章小結35

第2章群論37

2.1基本概念37

1. 群和半群37

2. 關於單位元的性質39

3. 關於逆元的性質39

4. 群的幾個等價性質40

習題2.1 45

2.2子群45

1. 子群45

2. 元素的階48

習題2.2 49

2.3循環群和生成群，群的同構50

1. 循環群和生成群50

2. 群的同構51

3. 循環群的性質53

習題2.3 54

2.4變換群和置換群，Cayley定理55

1. 置換群56

2. Cayley定理60

習題2.4 62

2.5子群的陪集和Lagrange定理62

1. 子群的陪集62

2. 子群的指數和Lagrange定理64

習題2.5 66

2.6正規子群和商群67

1. 正規子群的概念67

2. 正規子群的性質68

3. 商群69

4. 單群71

習題2.6 71

2.7共軛元和共軛子群72

1. 中心和中心化子72

2. 共軛元和共軛類73

3. 共軛子群與正規化子74

4. 置換群的共軛類75

習題2.7 78

2.8群的同態79

1. 群的同態79

2. 同態基本定理80

3. 有關同態的定理82

4. 自同態與自同構85

習題2.8 86

2.9群對集合的作用，Burnside引理87

1. 群對集合的作用87

2. 軌道與穩定子群88

3. Burnside引理90

習題2.9 92

2.10套用舉例92

1. 項鍊問題93

2. 分子結構的計數問題96

3. 正多面體著色問題97

4. 開關線路的計數問題98

5. 圖的計數問題99

6. RSA密碼系統的加密與解密變換101

7. 二次同餘方程102

習題2.10 104

2.11群的直積和有限可換群104

1. 群的直積104

2. 有限可換群的結構105

習題2.11 108

2.12有限群的結構，Sylow定理108

1. p?子群與Sylow p?子群109

2. Sylow定理109

習題2.12 112

第2章小結112

第3章環論116

3.1環的定義和基本性質116

1. 環的定義116

2. 環內一些特殊元素和性質118

3. 環的分類120

習題3.1 121

3.2子環、理想和商環123

1. 子環123

2. 生成子環和生成理想126

3. 商環126

習題3.2 128

3.3環的同構與同態129

1. 同構與同態129

2. 有關同態的一些定理130

3. 分式域132

習題3.3 133

3.4整環中的因子分解134

1. 一些基本概念134

2. 既約元和素元135

3. 最大公因子135

習題3.4 137

3.5惟一分解整環137

1. 惟一分解整環及其性質137

2. 主理想整環139

3. 歐氏整環141

習題3.5 142

3.6多項式分解問題143

1. 本原多項式及其性質143

2. D[x]的分解性質144

3. 多項式的可約性判斷146

習題3.6 148

3.7套用舉例148

1. 編碼問題148

2. 多項式編碼方法及其實現149

習題3.7 153

第3章小結153

第4章域論155

4.1域和域的擴張，幾何作圖問題155

1. 域的特徵和素域155

2. 擴張次數，代數元和超越元157

3. 添加元素的擴張158

4. 代數擴張與有限擴張159

5. 幾何作圖問題160

習題4.1 163

4.2分裂域，代數基本定理164

1. 分裂域164

2. 代數基本定理168

習題4.2 169

4.3有限域，有限幾何170

1. 有限域的構造及惟一性170

2. 有限域的元素的性質172

3. Zp\[x\]中多項式的根174

4. 有限域的子域175

5. 有限域的自同構群175

6. 有限域上的元素和多項式的性質176

7. 有限幾何177

習題4.3 180

4.4單位根，分圓問題181

1. 單位根181

2. 分圓問題182

習題4.4 185

第4章小結185

第5章方程根式求解問題簡介188

5.1多項式的Galois群189

1. 域和多項式的Galois群189

2. 多項式的Galois群的置換表示190

3. 多項式的Galois群的階191

4. 多項式的Galois群的計算192

習題5.1 194

5.2群的可解性和代數方程的根式求解問題194

1. 群的可解性194

2. 可解群的性質196

3. 代數方程的根式可解性197

習題5.2 198

第5章小結198

附錄其他代數系簡介199

1. 格與布爾代數199

2. 模的概念及例201

3. 代數201

習題202

習題提示與答案203

符號索引218

名詞索引220

參考文獻223