霍普夫代數

在數學中，霍普夫代數是一類雙代數，亦即具有相容的結合代數與余代數結構的向量空間，配上一個對極映射，後者推廣了群上的逆元運算。霍普夫代數以數學家海因茨·霍普夫命名，此類結構廣見於代數拓撲、群概形、群論、量子群等數學領域。

基本介紹

• 中文名：霍普夫代數
• 外文名：Hopf algebra
• 本質：一類雙代數

定義

所謂霍普夫代數，是指一個域上的雙代數，配上一個線性映射（稱為對極映射），使得下述圖一表交換。

利用 Sweedler 記號，此定義亦可表為

對極映射可理解為對卷積之逆，故其若存在必唯一。當，則稱為對合的；交換或余交換霍普夫代數必對合。

根據定義，有限維霍普夫代數的對偶空間也帶有自然的霍普夫代數結構。

例子

群代數. 設為群，可賦予群代數下述霍普夫代數結構：

有限群上的函式. 設為有限群，置為所有的函式，並以逐點的加法與乘法使之成為結合代數。此時有自然的同構。定義：

仿射代數概形的座標環：處理方式同上。

泛包絡代數. 假設是域上的李代數，置為其泛包絡代數，定義：

後兩條規則與交換子相容，因此可唯一地延拓至整個上。

李群的上同調

李群的上同調代數構成一個霍普夫代數，其代數結構由上同調的上積給出，余代數結構則來自群乘法 ，由此導出

對極映射來自。這是霍普夫代數的歷史起源，事實上，霍普夫借著研究這種結構，得以證明李群上同調的結構定理：

定理（霍普夫，1941年）.

設為上的有限維分次交換、余交換之霍普夫代數，則（視為-代數）同構於由奇數次元素生成的自由外代數。

量子群與非交換幾何

主條目：量子群

上述所有例子若非交換便是余交換的。另一方面，泛包絡代數的某些“變形”或“量子化”可給出非交換亦非余交換的例子；這類霍普夫代數常被稱為量子群，儘管嚴格而言它們並不是群。這類代數在非交換幾何中相當重要：一個仿射代數群可以由其座標環構成的霍普夫代數刻劃，而這些霍普夫代數的變形則可構想為某類“量子化”了的代數群（實則非群）。