交換子

在抽象代數中，一個群的交換子或換位子是一個二元運運算元。設g及h 是群G中的元素，他們的交換子是g^-1h^-1gh，常記為[g, h]。只有當g和h符合交換律（即gh = hg）時它們的交換子才是這個群的單位元。一個群G的全部交換子生成的子群叫做群G的導群，記作D(G)。

基本介紹

• 中文名：交換子
• 外文名：commutator
• 性質：數學名詞

簡介

設 是代數 的子集，稱 中與 內的所有元素都交換的元素構成的集合，即 ，為 在 中的交換子，記為 。設 是希爾伯特空間，如果 是自伴子代數，則 的交換子 也是自伴子代數，並且在強運算元拓撲下閉。

稱 在中的交換子為在中的二次交換子（double commutant），記為。類似地，可以定義更高次的交換子,,...,此時，==...,==...。

交換子群

在抽象代數中，一個群的換位子群或導群，是指由這個群的所有交換子所生成的子群，記作[G,G]、G′或G(1) 。每個群都對應著一個確定的交換子群。在一個群G的所有正規子群中，交換子群G′是使得G對它的商群為交換群的最小子群。

在某種意義上，交換子群提供了群G的可交換程度。因為從交換子的定義：[x,y]= xyx^-1y^-1，如果x與y交換，那么[x,y]=e。一個群內可交換的元素越多，交換子就越少，交換子群也就越小。可交換群的交換子群為平凡群{e}。