局部表現模(locally presented module)是一種有用的模。若環A是半完全環，則A是序列環的充分必要條件是，每個有限表現左A模是局部表現A模的直和。
基本介紹
- 中文名：局部表現模
- 外文名：locally presented module
- 領域：數學
- 學科：模論
- 性質：一種有用的模
- 對象：局部投射模
概念,模,同態,序列環,
概念
局部表現模(locally presented module)是一種有用的模。設M是A模，若對任意滿同態α：AN→AN″，任意非零同態φ：M→N″和M的任意有限生成子模M′，φ在M′上的限制總可擴張為M′到N的同態，即有同態r：M′→N，使得φ|M′=α°r成立，則稱M是局部投射模。對A模M，若有正合序列：Q→P→M→0，其中P和Q都是局部投射模，則稱M是局部表現模。當Q，P都是有限生成投射時，M就稱為有限表現模。若環A是半完全環，則A是序列環的充分必要條件是，每個有限表現左A模是局部表現A模的直和。
模
一個重要的代數系統。它是一個帶運算元區A的交換(加)群M。給定集合A與交換群M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，並且這個積滿足條件：
1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，
則稱A為M的運算元區，稱M為帶運算元區A的模，又稱為A上的模或A模。這時，由對應(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運算。任意a∈A可誘導出M的自同態aM：x→ax，而考慮交換群M能否成為A模就是看能否給出映射：μ： A→End(M)， a→aM。
特別地，考慮A是結合環，若滿足上述條件1的A模還滿足：
2.(a+b)x=ax+bx；
3.(ab)x=a(bx)；
即映射μ：A→End(M)為環同態，則稱M為左A模或左環模。由於A到M上的運算是寫在左側，所以M就稱為左A模，記為AM。類似地，有右A模M，記為MA。若A有單位元1，且又滿足條件
4.1x=x (x∈M)；
則稱M為酉模或麼模，以下設A模都是酉模。
同態
設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤. 稱從E到F中的映射f是群胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：
設G為乘法群，而a為G的元素. 由關係f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態。
設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法群的同態，且為乘法么半群的同態. 這就是說，對A的任一元素偶(x，y)，有f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，並且f將A的單位元變成B的單位元。
例如，設n為非零自然數；使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法群胚(乘法么半群)的同態。
例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基. 則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。
序列環
一類特殊環。指可表為其單側理想有線性序的(單側)理想的有限直和的環類。一個模M，若它的子模對包含關係(AB或BA)是線性序，則稱M是單列模。環R當看做左正則模RR是有限個單列模的直和時，稱R是左序列環.同樣地，可定義右序列環，但R是左序列環未必為右序列環。若環R是左序列環也是右序列環，則稱R是序列環.任何阿廷主理想環皆為序列環。若R是左遺傳環且任意左R模的內射包是平坦的，則R的任意左阿廷商環是左序列環。克德(Ko¨the，G.)於1935年首先引入了阿廷序列環並稱之為單列環。中山正(Nakayama，T.)於1940年稱之為廣義單列環。在有些文獻中，單列環一詞通常用來指準素可分解的阿廷序列環。淺野啟三(Asano，K.)於1949年曾刻畫阿廷序列環為任意單側理想都是主理想的環。阿廷序列環是特殊的QF環，它也具有良好的同調性質。畢爾德(Byrd，K.A.)於1970年證明：環R是序列環若且唯若任意R模是擬內射的；又若且唯若它是擬投射的。
