混合外代數

代數是數學的一個分支。傳統的代數用有字元 (變數) 的表達式進行算術運算,字元代表未知數或未定數。如果不包括除法 (用整數除除外),則每一個表達式都是一個含有理係數的多項式。

由模的張量積構造的一類代數。或者是各階反變張量空間的並構成的代數。

混合外代數(mixed exterior algebra)是外代數的推廣。

基本介紹

  • 中文名:混合外代數
  • 外文名:mixed exterior algebra
  • 領域:代數
  • 本質:外代數的推廣
  • 性質:模的張量積構造的一類代數
  • 相關術語:對偶空間、張量積
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概念介紹

混合外代數(mixed exterior algebra)外代數的推廣。設E*,E是特徵為零的域K上的對偶空間,∧E*,∧E是E*,E的外代數,若∧(E*,E)=∧E*
∧E為∧E*與∧E的標準張量積,對任意u*,v*∈∧E*,u,v∈∧E,定義:
則∧(E*,E)是一個有單位元
的結合代數,稱為E*,E上的混合外代數。它是由形如1
1,x*
1,1
x(x*∈E*,x∈E)的元生成的代數。

代數

數學的一個分支。傳統的代數用有字元 (變數) 的表達式進行算術運算,字元代表未知數或未定數。如果不包括除法 (用整數除除外),則每一個表達式都是一個含有理係數的多項式。例如: 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一個代數方程式 (參見EQUATION)是通過使多項式等於零來表示對變數所加的條件。如果只有一個變數,那么滿足這一方程式的將是一定數量的實數或複數——它的根。一個代數數是某一方程式的根。代數數的理論——伽羅瓦理論是數學中最令人滿意的分支之一。建立這個理論的伽羅瓦(Evariste Galois,1811-32)在21歲時死於決鬥中。他證明了不可能有解五次方程的代數公式。用他的方法也證明了用直尺和圓規不能解決某些著名的幾何問題(立方加倍,三等分一個角)。多於一個變數的代數方程理論屬於代數幾何學,抽象代數學處理廣義的數學結構,它們與算術運算有類似之處。參見,如: 布爾代數(BOOLEAN ALGEBRA);群 (GRO-UPS);矩陣(MATRICES);四元數(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。這些結構以公理 (見公理法 AXIOMATICMETHOD) 為特徵。特別重要的是結合律和交換律。代數方法使問題的求解簡化為符號表達式的操作,已滲入數學的各分支。
設K為一交換體。把K上的向量空間E叫做K上的代數,或叫K-代數,如果賦以從E×E到E中的雙線性映射.換言之,賦以集合E由如下三個給定的法則所定義的代數結構:
——記為加法的合成法則(x,y)↦x+y;
——記為乘法的第二個合成法則(x,y)↦xy;
——記為乘法的從K×E到E中的映射(α,x)↦αx,這是一個作用法則;
這三個法則滿足下列條件:
a) 賦以第一個和第三個法則,E則為K上的一個向量空間;
b) 對E的元素的任意三元組(x,y,z),有
x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;
c)對K的任一元素偶(α,β)及對E的任一元素偶(x,y),有(αx)(βy)=(αβ) (xy).
設A為一非空集合。賦予從A到K中的全體映射之集ℱ(A,K)以如下三個法則:
則ℱ(A, K)是K上的代數, 自然地被稱為從A到K中的映射代數。當A=N時, 代數ℱ(A,K)叫做K的元素序列代數.
無論是在代數還是在分析中,代數結構都是最常見到的結構之一。十九世紀前半葉末,隨著哈密頓四元數理論的建立,非交換代數的研究已經開始. 在十九世紀下半葉,隨著M.S.李的工作,非結合代數出現了,到二十世紀初,由於放棄實數體或複數體作為運算元域的限制,代數得到了重大擴展。
與外代數,對稱代數,張量代數,克利福德代數等一起,代數結構在多重線性代數中也建立了起來。

外代數

定義一

由模的張量積構造的一類代數。設T(M)是R模M是張量代數,若:
是i個M的張量積,則:
其中
。若B是一切
,x∈M在T(M)中生成的理想,則:
.
稱商代數E(M)=T(M)/B為外代數。若:
,且
。因此,E(M)為一個分次代數。若A是R代數,f為R模M到A的R模同態,滿足:
則由T(M)的泛性質,f可惟一擴張為T(M)到A的代數同態f*,且滿足:
由於f*的核含一切
,任意x∈M,即
,所以存在E(M)到A的代數同態f-:x+B→f(x)。於是,R模M到R代數A的模同態f,若滿足f(x)=0,x∈M,則f可惟一擴張為E(M)到A的R代數同態:
f:f(x+B)=f(x).

定義二

各階反變張量空間的並構成的代數。用Λ(V)記形式和:
則Λ(V)是2維向量空間。設:
其中
。ξ與η的外積是:
則Λ(V)關於外積成為一個代數,稱為向量空間V的外代數或格拉斯曼代數。
向量空間Λ(V)的基底是{1,ei,ei1∧ei2,…,e1∧…∧en}(1≤i≤n,1≤i1<i2≤n).
同樣,人們也有對偶空間V的外代數:
的元素稱為向量空間上的r次外形式,它是V上反對稱r重線性函式

對偶空間

對偶空間是一種特殊的線性空間。即線性空間的線性函式空間。設V是域P上的線性空間,V的所有線性函式構成的域P上的線性空間,稱為V的對偶空間,記為V(即HomP(V,P)).當dim V=n,並且ε1,ε2,…,εn是V的基時,由等式εij)=δij (i,j=1,2,…,n)所確定的n個線性函式ε1,ε2,…,εn是V的基,稱為基ε1,ε2,…,εn的對偶基。由上知,當dim V=n有限時,dim V=dim V=n;但當dim V無限時,二者不再相等,即它們的基元素不再是一一對應的。

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