克利福德代數

克利福德代數(Clifford algebra),又稱幾何代數(Geometric algebra),綜合了內積和外積兩種運算,是複數代數、四元數代數和外代數的推廣,在幾何和物理中有套用廣泛。

克利福德是英國數學家。生於埃克塞特(Exeter),卒於馬德拉(M-adeira)1860年在倫敦國王學院就學,三年後入劍橋三一學院。1867年榮獲史密斯數學獎。

基本介紹

  • 中文名:克利福德代數
  • 外文名:Clifford algebra
  • 別稱:幾何代數
  • 包含:內積和外積
  • 提出者:克利福德
  • 推廣者:Hestenes
簡介,詳細定義,外代數,人物簡介,發展,

簡介

克利福德代數是外代數的推廣。設V是特徵不為2的域K上的向量空間,Q是V上的一個二次型,T(V)是V上的張量代數。若I是T(V)中下列形式的元素生成的理想:
則商代數C(V,Q)=T(V)/I稱為關於二次型Q的一個克利福德代數。當dim V=n時,dim C(V,Q)=2。當Q=0時,C(V,Q)即為V上的外代數。因此,克利福德代數是外代數的推廣。實數域上的複數全體,四元數全體都構成克利福德代數。

詳細定義

克利福德代數是由二次型定義的一類代數。它對研究二次型、正交群多複變函數有重要作用。域F上有限維向量空間V上二次型Q,它是V到F的一個映射:x→Q(x),x∈V,滿足:
1.Q(αx)=α2Q(x) (α∈F,x∈V).
2.B(x,y)=Q(x+y)-Q(x)-Q(y),是雙線性的,也是對稱的.
若V為t個V的張量積:VV…V,V=F,則
T(V)=
V
是V的張量代數。由一切元
生成T(V)的一個理想KQ,其商代數:
C(V,Q)=T(V)/KQ
稱為二次型Q的克利福德代數。其元素為u-=u+KQ,u∈T(V)。由於T(V)是由V生成的,所以V到C(V,Q)的自然映射i:x→x-=x+KQ,x∈V,使得i(V)就生成C(V,Q).事實上,若:
dim V=n,
且u1,u2,…,un為V的基,則u-i1,u-i2,…u-ir(i1<i2<…<ir, 1<r≤n)生成F上向量空間C(V,Q)。從而
dim C(V,Q)≤n2.
特別地,若n=2且B(x,y)是非退化的,則C(V,Q)是四元數代數。克利福德代數具有泛性質:若f是V到一個代數A的線性映射,使得:
f(x)2=Q(x)1, x∈V,
克利福德代數
則存在C(V,Q)到A惟一的代數同態g使得如圖交換。

外代數

外代數亦稱格拉斯曼代數。各階反變張量空間的並構成的代數。用Λ(V)記形式和:
則Λ(V)是
維向量空間。設:
其中
。ξ與η的外積是:
則Λ(V)關於外積成為一個代數,稱為向量空間V的外代數或格拉斯曼代數。
向量空間Λ(V)的基底是{1,ei,ei1∧ei2,…,e1∧…∧en}(1≤i≤n,1≤i1<i2≤n).
同樣,人們也有對偶空間V*的外代數:
的元素稱為向量空間上的r次外形式,它是V上反對稱r重線性函式。

人物簡介

英國數學家。生於埃克塞特(Exeter),卒於馬德拉(M-adeira)1860年在倫敦國王學院就學,三年後入劍橋三一學院。1867年榮獲史密斯數學獎。第二年當選為該校套用數學教授。1874年成為皇家學會會員。克利福德在數學和物理學中的影響都很大。他將黎曼等人的非歐幾何引入英國,並在有關四次方程、軌跡分類、黎曼曲面的拓撲結構等方面有獨到見解,還創設了一種具有特殊性質的二階曲面來研究曲面的幾何結構,被稱為“克利福德曲面”。這些成果對克萊因等人的工作有所幫助,也為相對論的建立提供了理論依據。在代數方面,克利福德繼哈密頓四元數之後,引入了新的超複數——八元數(biquaternion),並推廣為更一般的“克利福德代數”。

發展

克利福德代數Clifford algebra)的主要貢獻者有:Hamilton(四元數),Grassmann(外代數),Clifford,Hestenes等等。
Hestenes是克利福德代數的發揚光大者,Hestenes的主要著作有:
《Space-time algebra》(克利福德代數被引入到狹義相對論中)。
《Clifford Algebra to Geometric Calculus》(克利福德代數結合了微積分,成為更強大的數學工具)
《New Foundations for Classical Mechanics》(經典物理學用克利福德代數重新書寫)
還有一些將Clifford algebra套用於其他領域如廣義相對論量子力學量子場論射影幾何微分幾何、共形幾何等中的著作。

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