八元數

八元數

八元數(英文:Octonion;德文:Oktaven),八元數四元數的一個非結合推廣,通常記為O

八元數在諸如弦理論狹義相對論和量子邏輯中有套用。

基本介紹

  • 中文名:八元數
  • 外文名:Octonion
  • 德文:Oktaven
  • 屬於四元數的推廣
歷史,定義,凱萊-迪克松構造,法諾平面記憶,共軛、範數和逆元素,性質,概述,自同構,參見,

歷史

八元數第一次被描述於1843年,於一封John Graves給哈密頓的信中。後來八元數由凱萊在1845年獨自發表。凱萊發表的八元數和John Graves給哈密頓的信中所提及的並無關係。

定義

八元數可以視為實數的八元組。每一個八元數都是單位八元數{1,i,j,k,l,il,jl,kl}的線性組合。也就是說,每一個八元數x都可以寫成
其中係數xa是實數。
八元數的加法是把對應的係數相加,就像複數四元數一樣。根據線性,八元數的乘法完全由以下單位八元數的乘法表來決定。
1ijkliljlkl
i
−1
k
j
il
l
kl
jl
j
k
−1
i
jl
kl
l
il
k
j
i
−1
kl
jl
il
l
l
il
jl
kl
−1
i
j
k
il
l
kl
jl
i
−1
k
j
jl
kl
l
il
j
k
−1
i
kl
jl
il
l
k
j
i
−1

凱萊-迪克松構造

一個更加系統的定義八元數的方法,是通過凱萊-迪克松構造。就像四元數可以用一對複數來定義一樣,八元數可以用一對四元數來定義。兩對四元數(a,b)和(c,d)的乘積定義為:
其中
表示四元數z的共軛。這個定義與上面給出的定義是等價的。

法諾平面記憶

一個用來記憶八元數的乘積的方便辦法,由右面的圖給出。這個圖中有七個點和七條直線(經過ijk的圓也是一條直線),稱為法諾平面。這些直線是有向的。七個點對應於Im(O)的七個標準基元素。每一對不同的點位於唯一的一條直線上,而每一條直線正好通過三個點。

共軛、範數和逆元素

八元數
的共軛為:
共軛是O的一個對合,滿足
(注意次序的變化)。
x的實數部分定義為½(x+x) =x0,虛數部分定義為½(x-x)。所有純虛的八元數生成了O的一個七維子空間,記為Im(O)。
八元數x的範數定義為:
在這裡,平方根是定義良好的,因為
總是非負實數:
這個範數與R上的標準歐幾里得範數是一致的。
O上範數的存在,意味著O的所有非零元素都存在逆元素。x≠ 0的逆元素為:
它滿足

性質

概述

八元數的乘法既不是交換的:
也不是結合的:
然而,八元數確實滿足結合性的一個較弱形式──交錯性。這就是說,由任何兩個元素所生成的子代數是結合的。實際上,我們可以證明,由O的任何兩個元素所生成的子代數都與RCH同構,它們都是結合的。由於八元數不滿足結合性,因此它們沒有矩陣的表示法,與四元數不一樣。
八元數確實保留了RCH共同擁有的一個重要的性質:O上的範數滿足
這意味著八元數形成了一個非結合的賦范可除代數。所有由凱萊-迪克松構造所定義的更高維代數都不滿足這個性質。它們都有零因子
這樣,實數域上唯一的賦范可除代數是RCHO。這四個代數也形成了實數域上唯一的交錯的、有限維的可除代數
由於八元數不是結合的,因此O的非零元素不形成一個群。然而,它們形成一個擬群

自同構

八元數的自同構A,是O的可逆線性變換,滿足:
O的所有自同構的集合組成了一個,稱為G2。群G2是一個單連通緊緻、14維的實李群。這個群是例外李群中最小的一個。

參見

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