零因子

零因子

零因子,亦稱零除元,環的一種特殊的非零元。R中一個元a≠0,若有0≠b∈R使得ab=0或ba=0,稱a是環R的零因子,在非交換環中有左、右零因子之分,如上ab=0時,a稱左零因子;ba=0時,a稱右零因子。若環R有零因子,則消去律不成立;與零因子意義完全相反的元,即不是零因子的非零元,稱為正則元。數環沒有零因子,但在其它環 (如矩陣環)里零因子卻可能存在,中不存在有零因子。

基本介紹

  • 中文名:零因子
  • 外文名:zero divisor
  • 別名:零除元
  • 屬性:環的一種特殊的非零元
  • 分類 :左零因子、右零因子
定義,例題解析,相關概念,相關定理與性質,定理1,推論,定理2,定理3,

定義

眾所周知,在數的普通乘法中,如果a≠0,b≠0,則必有ab≠0,但這一性質在一般環中不再成立。
設a≠0是環R的一個元素,如果在R中存在元素b≠0使ab=0,則稱a為環R的一個左零因子,同樣可定義右零因子
左、右零因子統稱為零因子,只在有必要區分時才加左或右。
既不是左零因子也不是右零因子的元素,稱為正則元

例題解析

例1 設R為由一切形如
方陣關於方陣的普通加法與乘法作成的環,其中x,y為有理數,則
是R的一個左零因子,因為有
不是R的右零因子,因為若
則只有
例2 數域F上二階全陣環中,
既是左零因子又是右零因子,因為有
數環以及數域上的多項式環,都無零因子。
在無零因子的環中,關於乘法的消去律成立。

相關概念

整環階大於1、有單位元且無零因子的交換環稱為整環。
例如,整數環和數域上的多項式環都是整環,而例1和例2中的方陣環都不是整環,整環的定義在不同的書中往往稍有差異,請予留意。
特徵數 若環R的元素(對加法)有最大階n,則稱n為環R的特徵(或特徵數),若環R的元素(對加法)無最大階,則稱R的特徵是無限(或零)用char R表示環R的特徵。
由於有限群中每個元素的階都有限,故有限環的元素對加法有最大階,從而有限環的特徵必有限,但是,無限環的特徵也可能有限,顯然,一階環即僅包含零元素的環,其特徵是1。而在數環中,除去{0}外,其特徵均無限。一般來說,環中各元素(對加法)的階是不相等的,但對無零因子的環來說,這種情況不會發生。

相關定理與性質

定理1

在環R中,若a不是左零因子,則
若a不是右零因子,則
證明
由於a≠0且a不是左零因子,故b-c=0,b=c。
同理可證另一結論。
如果對環R中任意元素a≠0,b,c,(1)成立,則稱環R滿足左消去律;若(2)成立,則稱R滿足右消去律。

推論

若環R無左(或右)零因子,則消去律成立;反之,若R中有一個消去律成立,則R無左及右零因子,且另一個消去律也成立。
證明 由於當R無左零因子時,R也無右零因子,故由定理1即得消去律成立,反之,設在R中左消去律成立,且
則b=0,即R無左零因子,從而R也無右零因子,於是右消去律也成立。

定理2

設R是一個無零因子環,且
,則
1)R中所有非零元素(對加法)的階均相同;
2)若R的特徵有限,則必為素數。
由此定理知,特別地,任何階大於1的有限環若無零因子,則其特徵都是素數
如果環R的特徵是素數p,且R又是一個交換環,則對R中任意元素
必有
這是因為將
展開後,除去項
外其餘各項的係數都是p的倍數,從而都是R的零元。
等式
顯然是與數的普通運算規則很不一樣的一個等式。
當環有單位元時其特徵更明顯。

定理3

若環R有單位元,則單位元在加群(R,+)中的階就是R的特徵。
證明 若單位元1在(R,+)中的階無限,則R的特徵當然無限;若1的階是正整數n,則在R中任取a≠o,有
即n是R中非零元素的最大階,亦即

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