基本概念
數環是
數集的一種代數結構,至少含一個數的數集S,若對
加法、減法、乘法封閉,即對S中的任意二數a、b,a+b、a-b、a·b都在S中,則稱S構成
數環。如果一個數集中的任意兩個數,經過某種運算所得的結果仍是這個數集中的數,那么就說這個數集關於這種運算封閉。
這樣,數環就是關於加法、減法、乘法運算封閉的非空數集。代數學中環的概念正是數環概念的推廣和一般化。
數環舉例
只由一個數0組成的集合,即{0},也是數環,因為0+0=0,0-0=0,0×0=0,這個數環叫做零環,它是最小的數環,即其它所有的數環都包含它。
若數環S含非零數a,則S必含無窮多個數。
全體整數集Z是一個數環,因為整數的和、差、積還數,這個數環叫整數環。
自然數集不是一個數環,因為自然數的差不一定是自然數。
對某個整數n,n的所有整數倍的集合構成數環,特別,n=2,全體偶數集構成數環,稱為偶數環,記做2Z。
全體有理數集Q、全體實數集R、全體複數集C都構成數環,分別稱為整數環Z、有理數環Q、實數環R和複數環C。整數環Z中帶餘除法定理成立,整數論正是研究整數環性質的有關理論。
全體奇數集不能構成數環,因為,兩個奇數的和不再是奇數。
全體形如3n+2的整數集也不構成數環。
性質
性質1 任何數環都包含數零(即零環是最小的數環)。
性質2 設S是一個數環,若a∈S,則na∈S(n∈Z)。
性質3 若M、N都是數環,則M∩N也是數環。
典型例題分析
例1自然數全體對數的四則運算是否形成環或域?
解:自然數全體對數的加法、乘法不形成環,也不形成域。
因為兩個自然數相減不一定還是自然數,所以自然數關於數的加、減、乘不形成環,也不形成域。
例2證明,如果一個數環S≠{o),那么S含有無限多個數。
證明:設
,由數環的性質,則
,從而
均屬於S,且當
時,
,從而得證S含有無限多個數。
例3證明,兩個數環的交還是一個數環;兩個數環的並是不是數環?
證明:(i)設
是兩個數環,
,於是
且
,從而
,且
,因此
,故
是數環。
(ii)兩個數環的並不一定是數環,例如,
,顯然
,則
,但
,故
不是數環。
環
環是近世代數學中一個重要概念。對一個集規定兩種代數運算(通常分別稱為加法和乘法),使加法滿足結合律及交換律,乘法滿足結合律,乘法對於加法滿足分配律;這集中還有零元素,就是與集中的任何元素相加結果仍等於該元素的一種元素,井且每個元素都有負元素,任何元素與其負元素相加等於零元素:這種集稱為“
環”。如果環的乘法滿足交換律,稱為“交換環”。以數為元素的環稱為“
數環”;例如,整數的全體構成一個數環。
關於數域
定義設F是一個數環,如果
(i)F含有一個不等於零的數;
數域的一個基本結論任何數域都包含有理數域Q。