整基

整基(integral basis)是整數環作為其子環上的模可能具有的基(也可能不存在)。設E/F為整體域或局部域的擴張，O_E與O_F為其整數環，若存在ω₁，ω₂，…，ω_n使O_E=O_Fω₁⊕…⊕O_Fω_n，則ω₁，ω₂，…，ω_n稱為E/F的整基。當F=Q或F_q(x)時(其中F_q為q元有限域)，有限擴張E/F總存在整基，當F是一般整體域時(即Q和F_q(x)的有限擴張)，E/F不一定有整基；若有整基也稱為相對整基。

基本介紹

• 中文名：整基
• 外文名：integral basis
• 所屬學科：數學
• 所屬領域：數論（代數數論）
• 相關概念：整數環、數域、相對整基等

定義

設如果，則稱是整數環或者數域K的一組整基，換句話說，是K或的一組整基，若且唯若每個整數均可唯一地表示成。

相關概念與性質

定義1

群G叫作是秩為n 的自由Abel群，如果它同構於n 個有理整數加法群Z的直和：（n個）。換句話說，即存在G中n 個元素使得G中每個元素均可唯一地表示成這可以寫成。注意零群(0) 看成是秩為0 的自由Abel 群。

定理1

以Q_K表示二次域(d 是無平方因子的有理整數)中的全部整數所組成的集合，則當時而當時其中。

定理2

數域K 的整數環是秩的自由Abel 群。換句話說，存在使得。

定理3

分圓域的整數環是。

數域的判別式

定理2表明每個數域均存在整基，但是並不是唯一的，例如由定理1可知，對於： 二次域(，無平方因子)，當時，是域K的整基；而當時，是域K的整基。另一方面，如果我們令

不難驗證，在任何情形下，也是域的整基又由定理3可知，分圓域的整數環是，從而是域的整基，而也是域的一組整基。

假設和均是數域K的整基，從整基的定義可知存在元素屬於Z的兩個非異方陣M和N，使得

於是並且。若令是K到C中的n 個嵌人，不難看出從而

這表明不同的整基有相同的判別式，即它是域K( 或環)本身的不變數，我們將它稱作域K的判別式，表示成。由於每組整基都是Z-線性無關的，從而也是Q-線性無關的，從而它們也是向量空間K的一組基，於是它們的判別式不為零，即是非零有理整數。