二次域

二次域，就是有理數域Q的二次擴域。每個二次域都可表示成其中d 不等於1是無平方因子的有理整數，按照d>0和d<0，分別稱K為實二次域和虛二次域。二次域是除了有理數域之外最簡單的一類代數數域。它有較簡單的數學結構和特性。

基本介紹

• 中文名：二次域
• 外文名：quadratic field
• 適用範圍：數理科學

定義

假定 適合一個有理整係數的既約二次方程。則 就稱為一個二次域。實際上，全體二次域即 ，其中 D 過所有不等於 1 且無平方因子的有理整數。

當 D>0 時， 稱為實二次域（real quadratic field）；

當 D<0 時， 稱為虛二次域（imaginary quaadratic field）；

當 （mod 4）時，命 及 ；

當 （mod 4）時，命 及 。則 為 的判別式，而1、 為 的一組整基。1、 亦為 的一組整基。

發展

1801年，C.F.高斯發表了他在20歲時所寫的數論著作《算術研究》，展現了他的一個傑出的思想，即把有理數域和有理整數環上的許多初等數論問題，放到更大的域和環──二次域和它的(代數)整數環上來研究。他在這些方面的工作，是研究二次域的開端，也是代數數論的一個源頭。

二次域有許多研究課題，其中最著名的是高斯關於類數問題的兩個猜想：

①只有有限多個類數為1的虛二次域；

②存在著無限多個類數為1的實二次域。

關於第一個猜想，1934年，H.海布雷恩給出了初步證明。1935年C.L.西格爾進一步證明了該猜想。A.貝克於1966年和H.M.斯塔爾克於1967年各自獨立地證明了類數為1的虛二次域只有9個：d=1，2，3，7，11，19，43，67，163。至於第二個猜想，則至今仍未解決。