局部域

在數學上，局部域是一類特別的域，它有非平凡的絕對值，此絕對值賦予的拓撲是局部緊的。局部域可粗分為兩類：一種的絕對值滿足阿基米德性質（稱作阿基米德局部域），另一種的絕對值不滿足阿基米德性質（稱作非阿基米德局部域）。在數論中，數域的完備化給出局部域的典型例子。

基本介紹

• 中文名：局部域
• 外文名：local fields
• 分類：阿基米德及非阿基米德局部域
• 套用學科：數學
• 相關術語：有限域
• 所屬領域：數論

定義

設F為非阿基米德局部域，而為其絕對值。關鍵在下述對象：

閉單位球：，或其整數環，這是個緊集。

整數環里的單位元：

開單位球：，這同時是其整數環里唯一的極大理想，也記作。

上述對象與賦值環的構造相呼應；事實上，可證明必存在實數及離散賦值，使得

可取唯一的c使得v為滿射，稱之為正規化賦值。

從此引出非阿基米德局部域的另一個等價定義：一個域 F，帶離散賦值，使得F成為完備的拓撲域，而且剩餘域有限。

這類局部域的行為可由局部類域論描述。

分類

局部域的完整分類如次：

。這些是阿基米德局部域。

p進數域的有限擴張。這些是特徵為零的非阿基米德局部域。

的有限擴張（其中表有q個元素的有限域）。這些是特徵非零的非阿基米德局部域。