零化子

零化子(annihilator)起源於零因子的概念.設S是環R的子集,R中一切左乘S中每一個元都等於零的元素的集合,稱為S的左零化子,R中一切右乘S中每一個元都等於零的元素的集合,稱為S的右零化子。

基本介紹

• 中文名：零化子
• 外文名：annihilator
• 所屬學科：數學
• 分類：左零化子、右零化子

定義

定義一

設S是環R的子集，R中一切左乘S中每一個元都等於零的元素的集合，稱為S的左零化子，通常記為或，即={對任意}。是R的一個左理想。同樣地，S在R中的右零化子=={對任意}是R的右理想，∩稱為S在R中的零化子，它是R的理想。

定義二

假定R是環，S是R的非空子集合， ，那么

叫做R中S的左零化子或簡稱R中左零化子或左零化子，顯然 是R的左理想，假如K是由S生成的R的右理想，那么，因此我們也可以假定S是R的右理想，這樣 就是R的右理想S的左零化子，如果S是左理想或理想，那么 就是理想。

同樣 叫做R中S的右零化子或R中右零化子或右零化子，顯然 是R的右理想，我們也可把看成R的左理想S的右零化子，右理想的右零化子或理想的右零化子都是理想。

R的理想如果又是R中左零化子或右零化子，就叫做R的零化理想，顯然R自身是R中的零化理想，假如環R有單位元或是半質環，那么O是R的零化理想。

零化子的性質

把 和 分別簡記為 和。

1 引理

設 是餘生成子，則對於每個 有：

2 定理

若 是內射的，則有

(1)對任意 ，，有

(2)對任意有限生成的 有

3 定理

如果定理2中的條件(1)，(2)成立，則任意從R的有限生成右理想到R的同態可由R的某個元素左乘得到。

4 推論

若 是Noether的且定理2中的條件(1)，(2)成立，則 是內射的。

證明：因為是Noether的，所以R的每個右理想是有限生成的，於是由定理3和Baer判別定理就得到命題。