自內射環

自內射環(self-injective ring)是一類特殊環，即正則模是內射模的環。一個環R，若_RR(R_R)是內射模，則R稱為左(右)自內射環，環的自投射性是平凡的，然而它的自內射性卻是決定其模範疇的對偶性的重要因素，因此，可用它來刻畫一些重要環類，如擬弗羅貝尼烏斯環等。在交換環的情形，R的商環的自內射性與R上模的分解性有密切聯繫，即任意R模是循環模的直和若且唯若R是阿廷主理想環；若且唯若R是諾特環且對於任意理想I，R/I是自內射的。

基本介紹

• 中文名：自內射環
• 外文名：self-injective ring
• 定義：正則模是內射模的環
• 所屬學科：環與代數（環論）

定義

環如果是內射模，那么叫做自內射環。

相關定理

定理1擬Frobenius代數是自內射環。

定理2假定環R有單位元，並且是自內射環，那么

(1)

(2) 這裡是R的左理想子環。

定理3假定環R是(左) 自內射模，那么R的補左理想子環是左零化子。

證明：假定C是R的補左理想子環，那么有R的左理想子環L使。設是到的模同態，。因為R 是自內射模，所以因此。如果那么。因此存在使這顯然是矛盾。證畢。

定理4 假定R 是有單位元的半質環如果它又是自內射模，那么R的極大左零化子是極大左理想子環，並且是由R的一個冪等元生成的。

定理5 設那么，是自內射環若且唯若R是自內射環。

定理6 上任一正則矩陣均有左逆的充要條件是R為自內射環。

定理7R為*-環若且唯若R是自內射環。

定理8 對任意的弱可逆的線性自動機必有線性弱逆。

定理9 可逆的線性自動機必有線性逆的充要條件是 R 為自內射環。

定理10 給定那么，任一可逆的線性自動機總存在使得它有線性逆的充要條件是R為自內射環。

推論1(i)若R是自內射環，則任意(弱)可逆的線性自動機都有線性(弱)逆；

(ii) 若R不是自內射環，則對總存在可逆的線性自動機不具有線性弱逆。

零化子-自內射環的基本性質

定義1 稱環R是左零化子-自內射環(記為左ann-自內射環)，如果對環R中任一右理想I，從其左零化子到R的左R-同態都能表示為環R的一個元素右乘。類似地，可定義右ann-自內射環。若R既是右ann-自內射環，又是左ann-自內射環，則稱R是ann-自內射環。

注 1 任意的左自內射環都是左ann-自內射環，反之，在一般情況下是不成立的。例如，任意整環為雙邊ann-自內射環，但不是自內射環。事實上，2Z是所有偶數的集合，它是一理想，定義顯然是Z-同態，但它不是右乘，故不是自內射環。

如果_RR是內射餘生成子，則R為左PF-環，我們自然會想到當條件削弱為左ann-自內射環且是餘生成子時，R還是不是左PF-環。

命題 1 對任意環R，下列條件等價：

(1)環R是左PF環；

(2)環R是左ann-自內射餘生成子；

(3)環R是左ann-自內射環左D-環；

(4)環R是左自內射環左D- 環。

定理1對任意環R，下列條件等價：

(1) R是左ann-自內射環；

(2)其中是任給右理想；

(3) 任給右理想賦值映射是一滿射；

(4) 自然同態(定義為)是滿射, 其中是任給右理想；

(5) 任給右理想是自反模。

命題2 設環R是左ann-自內射右完全reduced 環，則R是右極小自內射環。

推論 設環R是左ann-自內射右完全reduced環，則R_R是有限餘生成的。

命題3 設環R是ann-自內射環，則任給的右理和都是自反模。

命題 4 設環R是ann-自內射環，則主左理想和主右理想都是自反模。

命題5 R是左ann-自內射環直積Rⁿ是左ann-自內射環。

引理1 設R是左ann-自內射，則R是左D環任給的有限生成左R模是無撓模。

定理2 設環R是ann- 自內射左、右Noether環，則 R 是D 環 環 R 是 QF 環。

命題6 設 R 是交換環，且R 是ann-自內射環，A和B 是環R 的理想，r(A)與r(B)都是R的零化子，如果且那么。

推論 如果R是交換環，且是ann-自內射環，L是R的理想，下列條件等價：

(1) 是投射理想；

(2)

(3) 是ann-內射模。