基本介紹
- 中文名：諾特環
- 外文名：Noetherian ring
- 提出者：諾特
- 領域：抽象代數
- 分類：左諾特環與右諾特環
- 等價定義：艾美獎環
簡介,特徵,屬性,舉例,主分解,
簡介
在數學中，更具體地在抽象代數領域被稱為環形理論。諾特環(Noetherian ring)是抽象代數中一類滿足升鏈條件的環。希爾伯特(Hilbert)首先在研究不變數理論時證明了多項式環的每個理想都是有限生成的，隨後德國數學家埃米·諾特(Emmy Noether)從中提煉出升鏈條件，諾特環由此命名。
諾特環是一個滿足理想上升鏈條件的環；也就是說，給予任何理想的鏈條：
存在n，使得：
另外還有其他等價定義的Noetherian環。
等價的定義為：A的每個理想都是有限生成的，或者是理想是有限生成的。
將上述定義中的理想代換為左理想或右理想，可以類似地定義左諾特環與右諾特環。A是左（右）諾特環若且唯若A在自己的左乘法下形成一個左（右）諾特模。對於交換環則無須分別左右。
艾美獎環以艾美·諾特（Emmy Noether）命名。由於它在簡化環的理想結構中起著重要的作用，在交換和非交換環理論中，Noetherian環的概念是至關重要的。 例如，整數環和場上的多項式環都是Noetherian環，因此，諸如Lasker-Noether定理，Krull交集定理和希爾伯特基礎定理這樣的定理成立。 此外，如果一個環是Noetherian，那么它滿足主要理想的下降鏈條件。 這個屬性暗示了從Krull維度的概念開始的Noetherian環的深度的維度理論。
特徵
對於非交換環，有必要區分三個非常相似的概念：
1.如果滿足左側理想上升的鏈條條件，則環為Noetherian。
2.如果它滿足左理想的上升鏈條件，那么一個戒指是對的 - Noetherian。
3.如果它是左和右，Noetherian，都是Noetherian。
對於交換環，所有三個概念重合，但一般來說它們是不同的。有沒有左Noetherian環，而不是右Noetherian環，反之亦然。
還有另外一個等同的定義，我們給左Noetherian環R一個定義：
1.在R中的每個左邊的理想I有限地產生，即在I中存在元素a1，...，an，使得I = Ra1 + ... + Ran。
2.每個非空集合的左邊理想，通過包含部分排序，具有關於集合包含的最大元素。
類似的結果適用於右諾特環。
對於一個交換戒指是Noetherian，就可以有效地生成環的每個主要理想。
屬性
1.任何交替的主要理想環都是Noetherian，因為這樣一個環的每個理想都是由一個元素產生的。特別是，每個主要的理想領域和每個歐幾里得域都是Noetherian。
2.Z是一個Noetherian環，這個事實在通常的證據中被利用，每個非單位整數都可以被至少一個素數整除，儘管它通常被稱為“每個非空的整數集合具有關於可分割性的最小元素”。
3.如果R是Noetherian環，則R [X]是Hilbert基定理的Noetherian。通過感應，R [X1，...，Xn]是一個Noetherian環。此外，R [[X]]，功率系列環是Noetherian環。
4.如果R是Noetherian環，而我是雙面的理想，那么R / I因子也是Noetherian。換句話說，一個Noetherian環的任何一個彈性環同態的形象是Noetherian。
5.在交換性的Noetherian戒指上的每個有限生成的交換代數是Noetherian。 （從以前的兩個屬性開始）
6.若且唯若每個有限生成的左R模組都是Noetherian模組時，環R就是Noetherian。
7.交換的Noetherian環的每個本地化都是Noetherian。
8.Akizuki-Hopkins-Levitzki定理的結果是每個左邊的Artinian環都是Noetherian。另一個後果是，左邊的Artinia環是左的Noetherian，如果且只有左的Artinian。具有“右”和“左”的類似語句互換也是如此。
9.一個左側的Noetherian環是相干的，左側的Noetherian域是一個左側的礦石域。
10.如果且只有注射（左/右）模組的每個直接總和是注射的，則是（左/右）Noetherian。每個注射模組可以分解為不可分解的注射模組的直接總和。
11.在一個交換的Noetherian環中，只有極少數的理想。
12.在可交換的Noetherian域R中，每個元素都可以被分解為不可約元素。因此，如果另外不可約束的元素是素數元素，則R是唯一的分解域。
舉例
1.任何領域，包括有理數字，實數和複數的領域，都是Noetherian。
2.任何主要的理想領域，如整數，都是Noetherian，因為每個理想都是由一個元素生成的。
3.Dedekind域（例如，整數環）是Noetherian，因為每個理想都由最多兩個元素生成。 “Noetherian”來自於Krull-Akizuki定理。發電機數量的範圍是福斯特 - 天鵝定理（或基本環理論）的推論。
4.作為希爾伯特基礎定理的結果，仿射品種的坐標環是一個Noetherian環。
5.有限維代數g的包絡代數U是左和右noetherian環，這是因為U的相關分級環是Sym(g)的商，是一個場上的多項式環；因此，是一個Noetherian環。
6.整數或一個欄位中有限多個變數的多項式環。
不是Noetherian的戒指往往（在某種意義上）非常大。以下是非Noetherian戒指的一些例子：
1.無限多個變數X1，X2，X3等中的多項式環，理想（X1），（X1，X2），（X1，X2，X3）等的序列是上升的，不會終止。
2.代數整數的環不是Noetherian。例如，它包含無限上升的主要理想鏈：（2），（21/2），（21/4），（21/8），...
3.從實數到實數的連續函式的環不是Noetherian：令In是所有連續函式f的理想，使得對於所有x≥n，f（x）= 0。理想I0，I1，I2等的序列是不終止的上升鏈。
4.穩定同倫群的球體不是Noetherian。然而，非Noetherian戒指可以是Noetherian戒指的子環。由於任何一個整合的域都是一個子域，任何不是Noetherian的整合域都是一個例子。給一個不那么瑣碎的例子，
5.在場k上由x和y / xn生成的合理函式環是只有兩個變數的場k（x，y）的子環。
事實上，有一些環是左的Noetherian，但沒有右Noetherian，所以一個人必須小心測量一個戒指的“大小”這樣。例如，如果L是與Z同構的
的亞組，則R是從到自身滿足f（L）⊂L的同態的環。選擇一個基礎，我們可以描述相同的環R：
這個環是左的Noetherian，但不會右Noetherian；由a = 0和γ= 0的元素組成的子集I⊂R是沒有有限生成的左R模組的左理想。
唯一的分解域不一定是一個noetherian環。 它確實滿足一個較弱的條件：主要理想上升的鏈條條件。
估值環不是Noetherian，除非它是主要的理想領域。 它給出了代數幾何自然產生的環，但不是Noetherian的例子。
主分解
在整數的環Z中，對於某個整數n，任意的理想是（n）的形式（其中（n）表示n的整數倍數的集合）。如果n是非零，並且既不是1也不是-1，通過算術的基本定理，存在素數
和正整數
，與
。在這種情況下，理想（n）可以寫成理想
的交點；也就是說，
。這被稱為理想（n）的主要分解。
一般來說，如果Q是左的，並且每當xy∈Q，則某個正整數n的x∈Q或yn∈Q，則認為環的理想Q是主要的。在Z中，主要理想恰恰是形式（
）的理想，其中p是素數，e是正整數。因此，（n）的主分解對應於表示（n）作為有限許多主要理想的交點。
由於上述所有原因，以下定理被稱為拉斯克 - 諾特定理，可以被看作是算術基本定理的某種泛化：
Lasker-Noether定理。讓R成為一個可交換的Noetherian環，讓我成為R的理想。然後我可以寫成有限的許多主要理想與不同的自由基的交集；那是：
對於i≠j，所有i的Qi為主，Rad（Qi）≠Rad（Qj）。 此外，如果：
是對於i≠j，Rad（Pi）≠Rad（Pj）的I的分解，並且I的兩個分解都是非冗餘的（意味著{Q1，...，Qt}或{P1，...的適當子集 ，Pk}產生一個相等於I），t = k和（在可能重新編號Qi之後）的交點Rad（Qi）= Rad（Pi）。
對於I的任何主要分解，即集合{Rad（Q1），...，Rad（Qt）}由Lasker-Noether定理保持不變。
