諾特模

諾特模是抽象代數中一類滿足升鏈條件的模，定義方式類似諾特環。是一種重要的模。它是阿廷模的對偶概念。即滿足極大條件的模。若A模M的任一子模升鏈M1M2…都是有限終止的，即存在n，使得Mn=Mn+1=…，則稱模M滿足升鏈條件。模M是諾特模的充分必要條件是它滿足升鏈條件；也等價於，M的每個子模是有限生成的。若將環A看做左A模時它是諾特模，則稱A是左諾特環(關於右的情形完全類似)。諾特環是一類概括廣的重要環，它在代數幾何等學科中有很大的套用價值。域上的多元多項式及其商環(因而代數曲線、代數曲面的坐標環)都是諾特環。

基本介紹

• 中文名：諾特模
• 所屬：抽象代數
• 定義方式：類似諾特環
• 實質：滿足升鏈條件的模
• 套用領域：代數幾何等學科
• 分類：左諾特環、右諾特環
• 對偶概念：阿廷模

定義

諾特模是一種重要的模。它是阿廷模的對偶概念。即滿足極大條件的模。若A模M的任一子模升鏈M1M2…都是有限終止的，即存在n，使得Mn=Mn+1=…，則稱模M滿足升鏈條件。模M是諾特模的充分必要條件是它滿足升鏈條件；也等價於，M的每個子模是有限生成的。若將環A看做左A模時它是諾特模，則稱A是左諾特環(關於右的情形完全類似)。諾特環是一類概括廣的重要環，它在代數幾何等學科中有很大的套用價值。域上的多元多項式及其商環(因而代數曲線、代數曲面的坐標環)都是諾特環。

阿廷模

與諾特模對偶的概念，即滿足極小條件的模。若A模M的任一子模降鏈M₁M₂…都是有限終止的，即存在n，使得M_n=M_n+1=…，則稱模M滿足降鏈條件。模M是阿廷模的充分必要條件是它滿足降鏈條件。若將環A看做左A模時它是阿廷模，則稱環A是左阿廷環(關於右的情形完全類似)。有單位元的阿廷環一定是諾特環。

諾特環

設R是一個有單位元的交換環，如果R的每個理想鏈I₁⫅I₂⫅I₃⫅…都存在整數n，使得對任何i≥n，I_i=I_n，則稱R是一個諾特環。設R是一個交換環，R的理想Q稱為準素理想，如果Q≠R，對任意的a，b∈R，若ab∈Q，a∉Q，則必存在正整數n，使得b∈Q。設I是交換環R的理想，I的根(或稱冪零根)是包含I的所有素理想之交，記作或radI。準素理想的根是一個素理想，這個素理想稱為與Q結合的素理想，或Q是屬於這個素理想的準素理想。交換環R中的理想I稱為有準素分解，如果I=Q_i∩…∩Q_n，其中Q_i，i=1，…，n都是準素理想。如果每個Q_i都不包含Q₁∩…∩Q_i-1∩Q_i+1∩…∩Q_n，而且Q_i的根互不相同，則稱這樣的準素分解是既約的。一個有單位元的交換環R是諾特環若且唯若R的每個理想是有限生成的，若且唯若R滿足理想的極大條件：對R的任一個理想的非空族{I_λ}，其中必存在極大元I，即若J∈ {I_λ}，I⫅J，則I=J。含麼交換環是諾特環若且唯若每個素理想是有限生成的。諾特環R的每個理想I，I≠R，有準素分解，而且若I=A₁∩…∩A_n，I=B₁∩…∩B_m是兩個既約準素分解，其中A_i是屬於P_i的準素理想，B_j是屬於Q_j的準素理想，則n=m，而且適當重排順序後，P_i=Q_i。環R的非空子集S稱為R的一個乘閉子集，如果對任何a，b∈S，ab∈S。設S是交換環R的一個乘閉子集，在集合R×S上定義一個關係～： (r，s) ～ (r′，s′)，如果存在S₁∈S使得s₁(rs′-r′s) =0，這個關係是一個等價關係，(r，s)所在等價類記作r/s，R×S的全體等價類做成的集合記作SR，在SR中定義則SR做成一個有單位元的交換環。SR稱為R對於S的分式環。一個有單位元的交換環稱為局部環，如果它只有一個極大理想。設R是有單位元的交換環，P是R的素理想，令S=R\P，則S是R的乘閉子集，分式環SR是一個局部環，稱為R在P處的局部化，記作R_p。設S是諾特環R的乘閉子集，則SR也是諾特環。設R是—個諾特環，R[x₁，…，x_n]是R上文字x₁，…，x_n的多項式全體做成的環，則R[x₁，…，x_n]也是諾特環，這個結論稱為希爾伯特基定理。設R是一個諾特環，R[[x]]是R上文字x的形式冪級數全體做成的環，則R[[x]]也是諾特環。

性質

1. 模M是諾特的，若且唯若M的任意子模是有限生成的A模。
   

證明：=>否則不妨設，那么為無窮升鏈，與M是諾特的相矛盾。

<=如果存在無窮升鏈，考慮即可導致矛盾。

2. 模M是諾特的，若且唯若對於M的任意自模N，N和M/N均為諾特模。

證明：=>若M是諾特的，顯然N也是諾特的。對於M/N的任意自模，唯一對應了一個包含N的M自模，因此易知其也為諾特的。

<=對於M的任意上升鏈，我們考察如下兩個升鏈

顯然存在r使得當n>r時有且，對於第二項我們用群同構定理可知，又由第一項我們有。

推論1：如果是諾特的，那么也是諾特的。

推論2：如果R是諾特環，那么其上的有限生成模是諾特的。